[論文レビュー] Rényi Entropy for a $\bf 2d$ CFT with a gauge field: $\bf \widehat{ m SU}(N)_1$ WZW theory on a branched torus

Howard J. Schnitzer|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 56被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\widehat{\rm SU}(N)_1$ ワイス＝ツミノ＝ワッテン（WZW）模型の $n$ 枚の枝付きトーラス上におけるリーニー・エントロピーを、$U(1)$ ゲージ場の制約を課えたフェルミオン表現を用いて計算している。ヒルベルト空間を $\widehat{\rm U}(N)_1$ に拡張し、$U(1)$ 制約によって射影することで、ゲージ場の調和成分を分離し、ねじれ境界条件を満たすフェルミオン的デターミナントが寄与する。主な結果として、リーマン＝ジーゲル・シータ関数を含むリーニー・エントロピーの式が得られ、ボソン的表現と一致し、ボーズ＝フェルミオン双対性による一貫性が確認された。

ABSTRACT

The Rényi entropy for the $\widehat{ m SU}(N)_1$ WZW model as described by $N$ free fermions coupled to a $U(1)$ constraint field is computed on an $n$-sheeted branched torus. The boundary condition of the harmonic component of the gauge field on the homology cycles of the genus $g$ Riemann surface is central to the final result. This calculation is complementary to that of arXiv:$1510.05993$, which presents the bose side of the bose-fermi equivalence.

研究の動機と目的

• $n$ 枚の枝付きトーラス上における $\widehat{\rm SU}(N)_1$ WZW 模型のリーニー・エントロピーを、$U(1)$ ゲージ場の存在下で計算すること。
• フェルミオン表現を用いて $\widehat{\rm SU}(N)_1$ 模型を $\widehat{\rm U}(N)_1 / \rm U(1)$ とみなすことで、ゲージ理論における拡張ヒルベルト空間アプローチをゲージ理論に適用する。
• ゲージ場の調和成分がリーニー・エントロピーに果たす役割、特にねじれ境界条件を通じた寄与を特定すること。
• $n$ 枚のリーマン面を用いたレプリカ・トリックにより、ボソン的表現との一貫性を確認すること。

提案手法

• レプリカ・トリックを用いて、$n$ 枚の枝付きトーラス $\mathcal{R}_{n,1}$ 上の分配関数からリーニー・エントロピーを計算する。
• $\widehat{\rm SU}(N)_1$ 理論を、$U(1)$ ゲージ場に結合する $N$ 個の自由フェルミオンとして表現し、ヒルベルト空間を $\widehat{\rm U}(N)_1$ に拡張する。
• ゲージ場にホッジ分解を適用し、完全形式、余完全形式、調和形式に分離する。
• 完全形式および余完全形式の部分を、標準的な方法で分配関数に寄与するスカラー場として扱う。
• 調和成分を、ゲージ場のゼロモードに起因するねじれ境界条件を満たすフェルミオン的デターミナントとして計算する。
• ゼロモードの寄与を符号化するため、リーマン＝ジーゲル・シータ関数を用い、ホモロジー円周上での $U(1)$ 電荷のネット値がゼロとなるように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元 CFT としての $\widehat{\rm SU}(N)_1$ において、$U(1)$ ゲージ場の存在がリーニー・エントロピーに与える影響は何か？
• RQ2 非局所的ガウス則制約を持つ連続的ゲージ理論に、拡張ヒルベルト空間法を成功裏に適用できるか？
• RQ3 ねじれ境界条件の文脈において、ゲージ場の調和成分がリーニー・エントロピーに果たす役割は何か？
• RQ4 フェルミオン的表現による $\widehat{\rm SU}(N)_1$ のリーニー・エントロピーは、ボソン的表現と一致するか？ その確認方法は？
• RQ5 $n \to 1$ の極限において、調和成分の寄与がなぜ問題となるのか？ これはエンタングルメント・エントロピーの計算にどのように影響するか？

主な発見

• $\widehat{\rm SU}(N)_1$ のフェルミオン表現と $U(1)$ ゲージ場を用いた計算により、枝付きトーラス上でのリーニー・エントロピーが得られ、ボソン的表現と一貫している。
• ゲージ場の調和成分は、ねじれ境界条件を満たすフェルミオン的デターミナントとして寄与し、$n$ に関して解析的でない重要な寄与を示す。
• 最終的な分配関数には、ゼロモードの寄与を符号化するリーマン＝ジーゲル・シータ関数 $|\Theta(0|i\Omega)|^2$ が含まれており、ホモロジー円周上での $U(1)$ 電荷のネット値がゼロとなるように保証されている。
• この結果は、ボソン的表現からの分配関数（arXiv:1510.05993 の式 4.32）と一致し、リーニー・エントロピーの文脈におけるボーズ＝フェルミオン双対性を確認した。
• 完全形式および余完全形式の部分はスカラー場として寄与し、$n \to 1$ への解析的接続が可能であるが、調和成分はそうではないため、$n \to 1$ の極限における非解析的性質が説明された。
• 計算により、ボーズ＝フェルミオン双対性が利用可能な場合、拡張ヒルベルト空間法が連続的ゲージ理論に適用可能であることが示された。