[論文レビュー] Regularization of singular Sturm-Liouville equations

Andrii Goriunov, Vladimir Mikhailets|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2010

Spectral Theory in Mathematical PhysicsMathematics参考文献 7被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、$ q = Q' $、$ 1/p, Q/p, Q^2/p \in L_1 $ を満たす係数を持つ特異なストゥルム＝リウヴィル作用素の、シン＝ツェットルの擬微分作用素を用いた新たな正則化を導入する。これにより、適切に定義された最大作用素および最小作用素が得られる。主な貢献は、自己共役および最大散乱的拡張作用素、ならびに一般化されたリゾルベントの完全な特徴付けが、正規化された境界条件を用いてなされ、古典的または $ L_2 $-に基づく枠組みに比べて弱い仮定のもとで、先行研究を拡張することにある。

ABSTRACT

Paper deals with the singular Sturm-Liouville expressions $$l(y) = -(py')' + qy$$ on a finite interval with coefficients $$q = Q', \quad 1/p, Q/p, Q^2/p \in L_1,$$ where derivative of the function $Q$ is understood in the sense of distributions. Due to a new regularization corresponding operators are correctly defined as quasi-differential. Their resolvent approximation is investigated and all self-adjoint and maximal dissipative extensions and generalized resolvents are described in terms of homogeneous boundary conditions of the canonic form. Some results are new for the case $p(t)\equiv 1$ as well.

研究の動機と目的

• 古典的または $ L_2 $-に基づく仮定よりも著しく弱い係数条件のもとで、ストゥルム＝リウヴィル作用素を定義し、厳密に構成すること。
• 係数条件 $ q = Q' $、$ Q/p, Q^2/p \in L_1 $ の下で、$ Q' $ を分布的意味でとる特異な場合にまで拡張された擬微分作用素の理論を展開すること。
• 境界三つ組理論を用いて、最小作用素のすべての自己共役および最大散乱的拡張作用素をパrametricに記述すること。
• より正則な係数をもつ作用素のリゾルベントによる近似を通じて、構成された作用素のリゾルベントの近似を確立し、先行研究を改善すること。

提案手法

• 擬微分作用素 $ D^{[0]}y = y $、$ D^{[1]}y = py' - Qy $、$ D^{[2]}y = (D^{[1]}y)' + \frac{Q}{p}D^{[1]}y + \frac{Q^2}{p}y $ を用いて、ストゥルム＝リウヴィル作用素 $ l(y) = -(py')' + qy $ の新しい正則化を導入し、$ l[y] = -D^{[2]}y $ となるようにする。
• 最大作用素 $ L_{\text{max}} $ を、$ L_2 $ 上の擬微分作用素として、$ \{ y \in L_2 \mid y, D^{[1]}y \in AC, D^{[2]}y \in L_2 \} $ を定義域として定義する。
• 最小作用素 $ L_{\text{min}} $ を、$ L_{\text{max}} $ の制限として、$ k = 0,1 $ に対して $ D^{[k]}y(a) = D^{[k]}y(b) = 0 $ となる同次境界条件を満たすものとして定義する。
• 境界三つ組理論を用いて、自己共役および最大散乱的拡張作用素を $ \mathbb{C}^2 $ 上の作用素 $ K $ を用いてパrametrizeする。散乱的拡張作用素に対しては $ K $ が収縮作用素であることを要請する。
• リゾルベントの近似を確立するため、構成された作用素のリゾルベントが、より正則な係数をもつ作用素のリゾルベントによってノルムで近似可能であることを示す。
• 一般化されたリゾルベントを、$ (K(\lambda) - I)\Gamma_1 y + i(K(\lambda) + I)\Gamma_2 y = 0 $ という境界値問題を用いて導出する。ここで $ K(\lambda) $ は下側半平面上で正則かつ $ \|K(\lambda)\| \leq 1 $ を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分布的微分 $ Q' $ をもつポテンシャル $ q $ に対して、$ Q/p, Q^2/p \in L_1 $ のとき、特異なストゥルム＝リウヴィル作用素をどのように厳密に定義できるか？
• RQ2 係数条件 $ q = Q' $、$ 1/p, Q/p, Q^2/p \in L_1 $ の下で、最大作用素および最小作用素の構造はどのようになるか？
• RQ3 最小作用素のすべての自己共役拡張作用素は、境界条件の観点からどのようにパラメータ表示できるか？
• RQ4 最小対称作用素のすべての最大散乱的拡張作用素および一般化されたリゾルベントは、どのように特徴付けられるか？
• RQ5 構成された作用素のリゾルベントは、より正則な係数をもつ作用素のリゾルベントによって近似可能か？

主な発見

• 提案された擬微分作用素による正則化は、係数条件 $ q = Q' $、$ 1/p, Q/p, Q^2/p \in L_1 $、$ Q' $ を分布的意味でとる場合に、ストゥルム＝リウヴィル作用素を一意に定義する。
• この正則化により定義された最大作用素および最小作用素は、$ L_1 $-条件のもとで古典的作用素と一致し、$ Q $ に対して $ L_2 $-条件が成り立つ場合、[5] における作用素とも一致する。
• 最小作用素のすべての自己共役拡張作用素は、$ \mathbb{C}^2 $ 上の自己共役作用素 $ K $ と一対一かつ連続な対応関係にあり、正規化された同次境界条件で記述される。
• すべての最大散乱的拡張作用素は、$ \mathbb{C}^2 $ 上の収縮作用素 $ K $ と一対一対応する。境界条件が分離的であるのは、$ K $ がブロック対角で $ |K_a| \leq 1 $、$ |K_b| \leq 1 $ を満たす場合に限り、そのときである。
• 構成された作用素のリゾルベントは、より正則な係数をもつ作用素のリゾルベントによってノルムで近似可能であり、先行研究の結果を拡張・改善する。
• 一般化されたリゾルベントは、$ \mathbb{C}^- $ 上で正則で $ \|K(\lambda)\| \leq 1 $ を満たす作用素値関数 $ K(\lambda) $ を含む境界値問題によって完全に特徴付けられ、一般化されたスペクトル関数と一対一対応する。