[論文レビュー] Representation theory of W-algebras and Higgs branch conjecture

Tomoyuki Arakawa|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 43被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、W代数の表現論と4次元 $N=2$ 超共形場理論（SCFT）のヒッグス枝の間に深い関係を確立し、特にクラス $\sigma$ 理論に対して、ヒッグス枝の予想を証明するとともに、準リッスェ頂点代数を通じてシュール指標のモジュラー不変性を明らかにする。頂点代数から得られる関連多様体がモノイダル関手を介してヒッグス枝に同型であることを示し、これはヒッグス枝予想の確認と、シュール指標のモジュラー不変性の解明をもたらす。

ABSTRACT

We survey a number of results regarding the representation theory of $W$-algebras and their connection with the resent development of the four dimensional $N=2$ superconformal field theories in physics.

研究の動機と目的

• 4次元 $N=2$ 超共形場理論のヒッグス枝とW代数の表現論を結びつける数学的枠組みを構築すること。
• 頂点代数の構造と関連多様体を用いて、クラス $\sigma$ 理論におけるヒッグス枝予想を証明すること。
• 4次元 $N=2$ SCFT から得られる頂点代数が準リッセであること、したがって有限次元の表現カテゴリとシュール指標のモジュラー不変性を示すこと。
• 2次元ボーディズムから頂点代数へのモノイダル関手を構成し、臨界レベルにおけるチャイナル微分作用素を用いてヒッグス枝の幾何を実現すること。

提案手法

• 頂点代数の関連多様体の構成法を用い、それらをポisson多様体へ写像する。また、有限個のシンプレクティック葉を持つ頂点代数を準リッセ頂点代数と定義する。
• Zhuの還元法とEtingof-Schelterの定理を適用し、$V_0 = \mathbb{C}$ を満たす準リッセ頂点代数は、有限個の単純な通常モジュールしか持たないことを示す。
• 2次元ボーディズムの圏 $\mathbb{B}_2$ から頂点代数の圏 $\mathbb{V}$ へのモノイダル関手 $\eta_G: \mathbb{B}_2 \to \mathbb{V}$ を構成し、$S^1$ を複素単純群 $G$ へ送る。
• 相対的半無限コホモロジーを用いて $\mathbb{V}$ 内のモルフィズムの合成を定義し、幾何的ラングランズプログラムとヒッグス枝幾何とが整合することを保証する。
• 最近 [BFN17] で証明された Moore-Tachikawa 予想に依拠し、関手 $\eta^{BFN}_G$ を用いてヒッグス枝をシンプレクティック多様体として実現する。
• チャイナル代数 $\eta_G(B)$ の関連多様体 $X_{\eta_G(B)}$ とクラス $\mathcal{S}$ 理論のヒッグス枝 $\eta^{BFN}_G(B)$ の間に同型 $X_{\eta_G(B)} \cong \eta^{BFN}_G(B)$ を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元 $N=2$ SCFT から得られる頂点代数の関連多様体は、対応する理論のヒッグス枝と一致するか？
• RQ2 W代数の表現論を用いて、クラス $\mathcal{S}$ 理論におけるヒッグス枝予想を証明できるか？
• RQ3 4次元 $N=2$ SCFT から得られる頂点代数は準リッセ条件を満たすか？ その結果、シュール指標にモジュラー不変性が現れるか？
• RQ4 2次元ボーディズムから頂点代数へのモノイダル関手が存在し、臨界レベルにおけるチャイナル微分作用素を用いてヒッグス枝の幾何を実現できるか？

主な発見

• クラス $\mathcal{S}$ 理論においてヒッグス枝予想が確認された：チャイナル代数 $\eta_G(B)$ の関連多様体 $X_{\eta_G(B)}$ は、ヒッグス枝 $\eta^{BFN}_G(B)$ に同型である。
• 頂点代数 $\eta_G(B)$ は準リッセである。これは、その関連多様体が有限個のシンプレクティック葉を持つことを意味し、モジュラー不変性の重要な性質である。
• 準リッセ頂点代数上の通常モジュールの圏は有限である。これは定理12（モジュラー線形微分方程式）の直接的な帰結である。
• 4次元 $N=2$ SCFT のシュール指標はモジュラー不変性を満たし、[BR17] で物理学者が提起した予想を裏付ける。
• クラス $\mathcal{S}$ 理論のチャイナル代数は、2次元ボーディズムから頂点代数へのモノイダル関手 $\eta_G$ の像として実現され、$\eta_G(S^1) = G$ かつ $\eta_G(\text{cap}) = H^0_{DS,f_{prin}}(\mathcal{D}_G^{ch})$ を満たす。
• 圏 $\mathbb{V}$ 内の恒等射は、臨界レベルにおけるチャイナル微分作用素代数 $\mathcal{D}_G^{ch}$ として実現され、その関連多様体は $T^*G$ に一致する。