[論文レビュー] W algebra, Cosets and VOA for 4d N = 2 SCFT from M5 branes

Dan Xie, Wenbin Yan|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 79被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、M5-braneから生じる4次元 $χ=2$ 超共形場理論（SCFT）のクラスに対して、タイプ $[q^m,1^s]$ の冪零軌道に関連する $W$ 代数から構成することで、頂点演算子代数（VOA）を同定する。一般の $(A_{N-1},A_{k-1})$ 理論のVOAは、これらの $W$ 代数の商代数として得られ、2次元VOAにおけるレベルランク双対性や共形埋め込みといった新しい双対性や性質が明らかになる。

ABSTRACT

We identify vertex operator algebras (VOAs) of a class of Argyres-Douglas (AD) matters with two types of non-abelian flavor symmetries. They are the $W$ algebra defined using nilpotent orbit with partition $[q^m,1^s]$. Gauging above AD matters, we can find VOAs for more general $\mathcal{N}=2$ SCFTs engineered from 6d $(2,0)$ theories. For example, the VOA for general $(A_{N-1}, A_{k-1})$ theory is found as the coset of a collection of above $W$ algebras. Various new interesting properties of 2d VOAs such as level-rank duality, conformal embedding, collapsing levels, coset constructions for known VOAs can be derived from 4d theory.

研究の動機と目的

• 6次元 $(2,0)$ 理論に不規則な特異点と規則的な特異点を持つ場合にエンジニアリングされる、2つの非アーベルフレーバー対称性をもつArgyres-Douglas（AD）理論に関連する頂点演算子代数（VOA）を同定すること。
• 4次元 $χ=2$ SCFTを、AD物質の共形ゲージ理論によって構成する操作と、2次元VOAにおける商代数構成との間の対応関係を確立すること。
• 4次元SCFTの起源を分析することで、2次元VOAにおけるレベルランク双対性、共形埋め込み、崩壊レベルといった新しい性質を導出すること。
• 古典的リーリー代数 $\mathfrak{sl}_n$, $\mathfrak{so}_{2n}$, $\mathfrak{so}_{2n+1}$, $\mathfrak{sp}_{2n}$ に対する $W^k(\mathfrak{g},[q^m,1^s])$ 代数の中心電荷の明示的公式を、冪零軌道のデータに基づいて導出すること。

提案手法

• 著者らは、4次元での完全なパンクチャを一般のパンクチャに削減する操作を2次元VOAにおける還元に写像するため、量子ドリンフェルト＝ソコロフ（qDS）還元を用いる。これにより、4次元の操作が2次元の代数的構造と結びつく。
• 2つの非アーベルフレーバー対称性をもつAD理論のVOAは、不規則特異点のデータによって決定されるレベル $k'$ におけるアフィンカク＝ムーディ代数からの量子ハミルトニアン還元によって構成される $W^k(\mathfrak{g},[q^m,1^s])$ 代数として同定される。
• 一般の $(A_{N-1},A_{k-1})$ 理論のVOAは、4次元SCFTと2次元VOAの間の共形ゲージ理論対応を用いて、複数の $W$ 代数の商代数として得られる。
• 中心電荷の明示的計算には、$\mathfrak{g}_0$ および $\mathfrak{g}_{1/2}$ の部分空間のディメンジョンとディンキン指数を用い、冪零軌道の分割に対応する $\mathfrak{sl}_2$-三重対から導出される式を用いる。
• 中心電荷の公式に含まれる内積 $ (\rho,\rho) $, $ (x_0,x_0) $, $ (\rho,x_0) $ の計算には、$\mathfrak{sl}_2$-三重対と正規直交基底を用いる。
• 古典的リーリー代数に対しては、$x_0$ の明示的行列実現を用いて、$n$, $q$, $m$, $k$, および $\mathfrak{g}$ のランクを用いた $W^k(\mathfrak{g},[q^m,1^s])$ の中心電荷の閉形式表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不規則特異点と規則的特異点をもつM5-brane構成から生じる4次元 $χ=2$ SCFTで、2つの非アーベルフレーバー対称性をもつ場合に、その頂点演算子代数（VOA）をどのように同定できるか？
• RQ2 4次元での物質 multiplet の共形ゲージ理論と、2次元VOAにおける商代数構成との間の正確な対応関係は何か？
• RQ3 2次元VOAにおけるレベルランク双対性、共形埋め込み、崩壊レベルといった性質は、4次元SCFTフレームワークからどのように生じるか？
• RQ4 古典的リーリー代数 $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_n, \mathfrak{so}_{2n}, \mathfrak{so}_{2n+1}, \mathfrak{sp}_{2n}$ に対して、分割 $[q^m,1^s]$ を持つ $W^k(\mathfrak{g},[q^m,1^s])$ 代数の中心電荷は何か？
• RQ5 一般の $(A_{N-1},A_{k-1})$ 理論のVOAは、タイプ $[q^m,1^s]$ の冪零軌道に関連する $W$ 代数の商代数として構成可能か？

主な発見

• 2つの非アーベルフレーバー対称性をもつArgyres-Douglas理論のVOAは、$W^k(\mathfrak{g},[q^m,1^s])$ として同定され、$k$ は不規則特異点のデータによって決定され、アフィンカク＝ムーディ代数からの量子ハミルトニアン還元によって構成される。
• 一般の $(A_{N-1},A_{k-1})$ 理論のVOAは、$W^k(\mathfrak{sl}_n,[q^m,1^{n-mq}])$ 形式の複数の $W$ 代数の商代数として実現され、これらのVOAに対する新たな構成法が得られる。
• $W^k(\mathfrak{sl}_n,[q^m,1^{n-mq}])$ の中心電荷は、$c = mq(k - n + (m + 3n)q - (k + m + n)q^2) - \frac{k + k(m - n)n + mn^2}{k + n}$ で与えられ、$\mathfrak{g}_0$ および $\mathfrak{g}_{1/2}$ のディメンジョンと内積の明示的計算から導出される。
• $\mathfrak{g} = \mathfrak{so}_{2n}$ の場合、中心電荷は $c = -\frac{1}{2}mq((k + m + 2n - 2)q^2 - q(6n + m - 3) + 2n - k + 1) - \frac{kn(m - 2n + 1) + 2mn(n - 1)}{k + 2n - 2}$ で与えられ、$q$ と $m$ が偶数のとき有効である。
• $\mathfrak{g} = \mathfrak{so}_{2n+1}$ の場合、中心電荷は $c = -\frac{1}{2}mq((k + m + 2n - 1)q^2 - q(6n + m) + 2n - k + 2) - \frac{(2n+1)(m(k + 2n - 1) - 2kn)}{2(k + 2n - 1)}$ で与えられ、同様の偶奇条件のもとで導出される。
• $\mathfrak{g} = \mathfrak{sp}_{2n}$ の場合、中心電荷は $c = -\frac{1}{2}mq((2k + m + 2n + 2)q^2 - q(6n + m + 3) + 2n - 2k - 1) - \frac{n(m(n+1) - k(2n - m + 1))}{k + n + 1}$ で与えられ、$q$ が偶数のとき有効である。