[論文レビュー] Rigidity and quasi-rigidity of extremal cycles in Hermitian symmetric spaces

Robert L. Bryant|ArXiv.org|Jun 24, 2000

Algebraic Geometry and Number TheoryMathematics参考文献 11被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、特にグラスマンニアンを含むヘルミート対称空間における極値的サイクルの剛性および準剛性を、非自己同型な正則外微分系を構成することによって調査する。この系の積分多様体は、特定のホモロジー類を持つ部分多様体に対応する。主な貢献は、このようなサイクルが滑らかにできない条件の特徴付けであり、第二または第三チャーン類が消える holomorphic バンドルの分類に繋がる。

ABSTRACT

I use local differential geometric techniques to prove that the algebraic cycles in certain extremal homology classes in Hermitian symmetric spaces are either rigid (i.e., deformable only by ambient motions) or quasi-rigid (roughly speaking, foliated by rigid subvarieties in a nontrivial way). These rigidity results have a number of applications: First, they prove that many subvarieties in Grassmannians and other Hermitian symmetric spaces cannot be smoothed (i.e., are not homologous to a smooth subvariety). Second, they provide characterizations of holomorphic bundles over compact Kahler manifolds that are generated by their global sections but that have certain polynomials in their Chern classes vanish (for example, c_2 = 0, c_1c_2 - c_3 = 0, c_3 = 0, etc.).

研究の動機と目的

• グラスマンニアンにおける、シューベルト・サイクルなどの特定の特異的部分多様体が、滑らかな部分多様体とホモロジーライに同値でない理由を理解すること。
• 固定された部分多様体に対する、与えられた余次元のコンパクト複素部分多様体を特徴付ける正則外微分系（EDS）を構築すること。
• 特にグラスマンニアンや E VII などの例外的空間を含むヘルミート対称空間におけるこれらの EDS のイデアルの構造を分析すること。
• 得られた結果を、コンパクトなカーラー多様体上の、グローバルセクションによって生成され、第二または第三チャーン類が消える holomorphic ベクトルバンドルの分類に応用すること。
• このようなバンドルが曲線からの引き戻しであるか、またはラインバンドルと自明バンドルの直和に分解する必要がある条件を特定すること。

提案手法

• コンパクトなヘルミート対称空間 $M$ 上に、任意の $p$ 次元部分多様体 $V \subset M$ が $[V] \cap [W] = 0$ を満たすならば、その $\mathcal{I}$ の積分多様体であるような正則外微分系 $\mathcal{I}$ を構成すること。
• $\mathcal{I}$ の非自己同型性を分析し、これを用いて表現論的および組合せ論的手段により、その $p$ 次元積分多様体を明示的に記述すること。
• 接空間の外代数におけるイデアルのposetを用いて、特にハッセ図の特定のノードに関連するシューベルト・サイクルなどの積分多様体を分類すること。
• グラスマンニアン $\mathrm{Gr}(m,n)$ に理論を適用し、余次元 $k=2,3$ のシューベルト・サイクルとそのホモロジー的非滑らか化可能性を焦点にすること。
• トムおよびハーツホーン–リース–トーマスの結果を用いて、$\mathrm{Gr}(3,6)$ における特定のホモロジー類が滑らかな部分多様体によって表せないことを示すこと。
• 計算ツール（例：simpLie）を用いて、例外的ヘルミート対称空間 $\mathsf{E\,VII}$ を研究し、イデアルposetとその積分多様体を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラスマンニアンにおけるシューベルト・サイクルが、どの条件下で滑らかな部分多様体とホモロジーライに同値でないか？
• RQ2 固定された部分多様体 $W$ に関連する正則外微分系 $\mathcal{I}$ は、$[V] \cap [W] = 0$ を満たすすべての部分多様体 $V$ を特徴付けることができるか？
• RQ3 特に $\mathrm{Gr}(3,6)$ および $\mathsf{E\,VII}$ において、ヘルミート対称空間上の非自己同型な正則 EDS の積分多様体の構造はいかなるものか？
• RQ4 コンパクトなカーラー多様体上のグローバルセクションによって生成され、チャーン類が消える holomorphic バンドルの幾何的構造は、どのように制約を受けるか？
• RQ5 $\mathsf{E\,VII}$ における与えられたイデアル $\mathcal{I}_{(p,q)}$ のすべての既約積分は、より高い次元の特定のシューベルト・サイクルに含まれるか？

主な発見

• $\mathrm{Gr}(3,6}$ において、余次元 2 のシューベルト・サイクル $\sigma(W)$ は、トムのホモロジー類の非表記可能性に関する結果を用いて、ハーツホーン、リース、トーマスによって、いかなる滑らかな部分多様体ともホモロジーライに同値でないことが示された。
• $\mathrm{Gr}(2,5}$ において、余次元 2 のサイクル $\sigma(W)$ は、二つの滑らかな部分多様体の差として表せるが、いかなる単一の滑らかな部分多様体ともホモロジーライに同値でない。
• 固定された部分多様体 $W$ に関連する正則 EDS $\mathcal{I}$ は、ほとんど常に自己同型でないが、その $p$ 次元積分多様体は依然として明示的に記述可能である。
• コンパクトなカーラー多様体上の holomorphic バンドル $F$ に対して $c_2(F) = 0$ が成り立つとき、$F$ は曲線からの引き戻しであるか、または $L \oplus T$ に分解し、$L$ はラインバンドル、$T$ は自明バンドルである。
• $\mathsf{E\,VII}$ において、イデアル $\mathcal{I}_{(6,6)}$ は次元 10 の既約積分をもち、ノード $(10,0)$ に対応するシューベルト・サイクルに一致する。表現の次元は 43,758 であり、その近隣のものより著しく小さい。
• $\mathsf{E\,VII}$ におけるイデアル $\mathcal{I}_{(10,0)}$ は次元 17 の既約積分をもち、ノード $(17,8)$ に対応する。表現の次元は 100,386 であり、$\Lambda^{10}(\mathfrak{m})$ の 80 分の 1 未満である。