[論文レビュー] Rozansky-Witten invariants via formal geometry

Maxim Kontsevich|ArXiv.org|Apr 19, 1997

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、形式的ハミルトニアンベクトル場とリー代数コホモロジーを用いて、Rozansky-Witten不変量の幾何的構成を提供し、これらが複素シンプレクティック多様体上のシンプレクティックファイブレーションの特徴類から生じることを示している。主な貢献は、ハイパーカラーアークメトリクスに依存しない、完全に正則的（ホロモーフィック）な言語によるRW不変量の再定式化を可能にする、普遍的な摂動的量子チャーン・サイモンズ理論の枠組みを確立することである。

ABSTRACT

We show that recently constructed invariants of 3-dimensional manifolds and of hyperkaehler manifolds (L.Rozansky and E.Witten, hep-th/9612216) come from characteristic classes of foliations and from Gelfand-Fuks cohomology. In particular, any symplectic foliation gives invariants of 3-manifolds. Our preprint has many intersections with the preprint alg-geom/9704009 by M.Kapranov.

研究の動機と目的

• 形式的ハミルトニアンベクトル場とリー代数コホモロジーを用いて、Rozansky-Witten不変量の幾何的かつ普遍的な構成を提供すること。
• RW不変量がシンプレクティックファイブレーションの特徴類から導かれるため、ハイパーカラーアーク多様体の変形不変量であることを示すこと。
• ハイパーカラーアーク計量を必要としない、完全に正則的または代数的幾何的言語によるRW不変量の再定式化。
• 一般化されたAKSZ型トポロジカル量子場理論を通じて、有理ホモロジー3次元球面の有限型不変量と、カルラヤ・3次元多様体の正則的不変量との間の関係を確立すること。

提案手法

• 3価のグラフに巡回的頂点順序を備えたグラフコホモロジーにおいて、普遍的な有限型不変量を表す安定コホモロジー類を構成する。
• 各グラフまたは有理ホモロジー3次元球面を、シンプレクティックベクトル空間上の形式的ハミルトニアンベクトル場のリー代数の連続コホモロジーにおけるコホモロジー類に結びつける。
• リー代数 $\mathfrak{sp}(2n,\mathbf{R})$-不変なチェインに対して、Gelfand-Fuks型コホモロジーを $\mathfrak{ham}^0_{2n}$ 上で定義し、普遍的不変量空間 $H^{\bullet}_{2n}$ を得る。
• $\Pi T^{0,1}X_{\mathbf{C}}$ 上の $Q$-等変構造を用いて、ホロモーフィックシンプレクティック多様体 $X$ のドルベールコホモロジー $H^{\bullet}(X, \mathcal{O}_X)$ へのホモモーフィズムを定義する。
• $Q$-多様体および形式的シンプレクティックスーパーマニフォールド上の $Q$-等変バンドルを用いて、超次元 $(2n|k)$ における特徴類写像を一般化する。
• グラフコホモロジーから $H^{\bullet}_{2n|k}$ への写像が、普遍的クラスの引き戻しとしてRozansky-Witten不変量をもたらすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Rozansky-Witten不変量は、形式的幾何とリー代数コホモロジーを用いてどのように普遍的に構成可能か？
• RQ2 シンプレクティックファイブレーションと $Q$-構造は、RW不変量を生じる特徴類を定義するために果たす役割は何か？
• RQ3 ハイパーカラーアーク計量を参照せずに、完全に正則的または代数的幾何的言語でRW不変量を定式化できるか？
• RQ4 普遍的な有限型不変量の3次元多様体と、カルラヤ3次元多様体の正則的不変量との間の関係は、トポロジカル量子場理論を通じてどのように関係づけられるか？
• RQ5 3価グラフのグラフコホモロジーと、ホロモーフィックシンプレクティック多様体のコホモロジーとの間の明確な関係は何か？

主な発見

• Rozansky-Witten不変量は、シンプレクティックファイブレーションの特徴類から導かれるホモモーフィズムによって、$H^{\bullet}(X, \mathcal{O}_X)$ へのグラフコホモロジー類の像として構成される。
• この構成はハイパーカラーアーク計量に依存しない：多様体 $X$ のホロモーフィックシンプレクティック構造のみが必要である。
• $Z(M,X)$ および $Z_\Gamma(X)$ は、ハイパーカラーアーク多様体 $X$ の変形不変量である。これは、そのホロモーフィックシンプレクティック構造にのみ依存するためである。
• 形式的ハミルトニアンベクトル場のコホモロジーと $Q$-等変バンドルを用いて、普遍的な摂動的量子チャーン・サイモンズ理論が実現される。
• この枠組みは、シンプレクティックスーパーマニフォールドの族へ一般化可能であり、グラフコホモロジーから $H^{\bullet}_Q(B)$ への写像が得られ、超次元 $(2n|k)$ へと構成を拡張する。
• AKSZ型トポロジカル量子場理論の構成は、有理ホモロジー3次元球面の有限型不変量が、ホロモーフィック体積形式を備えた3次元カルラヤ多様体の正則的不変量をもたらすことを示唆している。