[論文レビュー] Aspects of Twistor Geometry and Supersymmetric Field Theories within Superstring Theory

Christian Saemann|ArXiv.org|Mar 13, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 235被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、C⁴からC³への次元削減を用いて、N=4 SYMを三次元のN=8超対称ヤン・ミルズ理論に還元することで、twistor理論的枠組みをN=8超対称ヤン・ミルズ理論に展開する。ホロモルフィックな遷移関数と超場接続を用いる。主な結果は、超場形式においてスピン(7) R対称性の破れ構造が出現することであり、共変微分とゲージポテンシャルからの整合性条件が導かれ、次元削減が明示的な超対称性を保つN=8 SYMをもたらすことを確認する。

ABSTRACT

In this thesis, we report on results in non-anticommutative field theory and twistor string theory, trying to be self-contained. We first review the construction of non-anticommutative N=4 super Yang-Mills theory and discuss a Drinfeld-twist which allows to regain a twisted supersymmetry in the non-anticommutative setting. This symmetry then leads to twisted chiral rings and supersymmetric Ward-Takahashi identities, which, when combined with the usual naturalness argument by Seiberg, could yield non-renormalization theorems for non-anticommutative field theories. The major part of this thesis consists of a discussion of various geometric aspects of the Penrose-Ward transform. We present in detail the case of N=4 super Yang-Mills theory and its self-dual truncation. Furthermore, we study reductions of the supertwistor space to exotic supermanifolds having even nilpotent dimensions as well as dimensional reductions to mini-supertwistor and mini-superambitwistor spaces. Eventually, we present two pairs of matrix models in the context of twistor string theory, and find a relation between the ADHM- and Nahm-constructions and topological D-brane configurations.

研究の動機と目的

• twistor空間におけるホロモルフィックな遷移関数を用いて、三次元のN=8超対称ヤン・ミルズ理論のtwistor的記述を構築すること。
• N=8 SYMのR対称性群、特にスピン(7)が、超場形式においてなぜ明示的でないかを理解すること。
• 削減された理論におけるゲージおよび超共変微分の整合性条件を導出すること。
• C⁴からC³への次元削減が、正しいN=8超対称性代数と場の内容をもたらすことを示すこと。
• 超場接続の文脈において、遷移関数ν₂*f_abのホロモルフィック構造とその役割を分析すること。

提案手法

• 論文は、twistor空間のパッチ上でGL(n,C)に値をとるホロモルフィックな遷移関数ψ_aを用いて、(CP¹×CP¹)_y上のバンドルEを定義し、ν₂*f_ab = ψ_a⁻¹ψ_bとする。
• スピンループインデックスに作用する超共変微分D_i^{(a)}およびD̃_i^{(a)}を導入し、ψ_aによる共変微分の共役によりゲージポテンシャルA_α̇iおよびÃ_α̇iを定義する。
• 超場B_α̇β̇は、B_α̇β̇ = A_(α̇β̇) + iε_α̇β̇Φ/2として、ゲージポテンシャルとヒッグス場Φに分解される。
• 超共変微分の反交換関係から整合性条件が導かれ、{∇_α̇i, ∇_β̇j} + {∇_β̇i, ∇_α̇j} = 0などの系が得られる。
• C⁴からC³への削減は、x² = 0とすることで実装され、これによりN=4からN=8超対称性が高まり、ヒッグススカラーΦがN=8多重項の第7のスカラーとして出現する。
• λ_± = μ_±のケースを分析することで、遷移関数f_abがλとμから構成された不変量にのみ依存することを示し、必要なホロモルフィック性と整合性条件を満たすことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 twistor空間における4次元から3次元への次元削減は、N=4 SYMからどのようにN=8超対称性を導くか？
• RQ2 N=8 SYMのR対称性群であるスピン(7)が、twistor構成から導かれる超場形式においてなぜ明示的でないのか？
• RQ3 ホロモルフィックな遷移関数ν₂*f_ab = ψ_a⁻¹ψ_bは、ゲージおよび超場接続を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ4 超共変微分∇_α̇i、∇_α̇i、∇_α̇β̇の整合性条件は、どのように元の幾何から生じるか？
• RQ5 削減された理論における超場B_α̇β̇ = A_(α̇β̇) + iε_α̇β̇Φ/2の幾何学的・代数的意義は何か？

主な発見

• C⁴からC³への次元削減、具体的にはx² = 0とすることで、N=4 SYMがN=8 SYMにうまく高められ、期待される超対称性代数が確認された。
• ヒッグス場Φは、N=8多重項の第7の実スカラーとして出現し、その零番目の成分は反交換関係{D_α̇i + A_α̇i, D_β̇j + A_β̇j} = −2ε_α̇β̇Φ_ijから導かれる。
• 超共変微分の整合性条件は、∇_α̇i、∇_α̇i、∇_α̇β̇を含む方程式系と等価であり、これは元のtwistor幾何から導かれる。
• 遷移関数ν₂*f_ab = ψ_a⁻¹ψ_bは、twistorパッチ上でGL(n,C)値をとるホロモルフィック関数であり、(CP¹×CP¹)_y上のバンドルEの整合性を保証する。
• 超場B_α̇β̇は、対称的なゲージポテンシャルとスカラーのヒッグス場に分解され、Φはフェルミオン的微分の反対称部分として明示的に与えられる。
• 条件λ_± = μ_±により、遷移関数f_abがλとμから構成された不変量にのみ依存することが保証され、ホロモルフィック性および構成に必要な整合性条件を満たす。