[論文レビュー] Scaled Triangleland Model of Quantum Cosmology

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|May 14, 2010

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 38被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、関係的粒子力学を用いて、相対的な配置のみを物理的自由度とする3粒子からなる三角形を形成する宇宙をモデル化するスケーリング三角ランドモデルを導入する。球座標および放物座標を用いた調和振動子型および宇宙論的動機付けのポテンシャルを導入し、期待値と分散を用いて形状とサイズを解釈する量子解を得ることで、時間のない力学、半古典的時間、および量子重力における時間の問題についての知見が得られる。

ABSTRACT

In scaled relational particle mechanics, only relative times, relative angles and relative separations are meaningful. It arose in the study of the absolute versus relative motion debate. It has then turned out to be a useful toy model of classical and quantum general relativity, such as for investigating conceptual strategies for the problem of time. This paper studies the 3-particle 2-d scaled relational particle model, for which the configurations are scaled triangles. The configuration space for these is R^3 with a conformally flat metric thereupon (it is the cone over the corresponding shape space S^2. I use multiple harmonic oscillator type potentials and other potentials suggested by analogy with cosmology, and solve for some of these by using a partial analogy with the treatment of the atom in spherical and parabolic coordinates. Spherical coordinates are here the total moment of inertia $I$ for radius and two pure-shape coordinates. These are Θ, a function of the ratio of the two relative separations of subsystems, and Φ, the relative angle between the two subsystems. Parabolic coordinates are Φagain and twice the partial moments of inertia of each subsystem. I interpret these solutions using 1) a `Bohr moment of inertia' for the model universe (playing the role of the scalefactor). 2) Expectations and spreads of sizes and shapes. 3) Superimposing the probability density function on the labelled tessellation of the configuration space that encodes meaningful subregions such as collinear configurations, equilateral triangles and isosceles triangles. Applications include hidden time, emergent semiclassical time, timeless and histories theory problem of time strategies, and comparing reduced and Dirac methods of quantization.

研究の動機と目的

• 2次元空間における3粒子が三角形を形成する系に基づく、スケーリング関係的粒子力学に立脚した量子宇宙論の玩具的モデルの構築。
• 絶対的時間や背景構造を持たない系を分析することで、量子重力における時間の問題に取り組む。
• 時間のない基本的量子理論から半古典的時間と出現的力学がどのように生じるかを検討する。
• 関係的枠組みにおいて、縮約化とディラック量力学化の手法を比較し、その一貫性と物理的解釈を検証する。
• 配置空間の局在化、形状の一様性、粗粒度化に対する予測の頑健性といった基礎的問題を調査する。

提案手法

• 相対的な時間、角度、距離のみを物理的自由度とするスケーリング関係的粒子力学モデルを定式化する。
• 全運動量の慣性モーメント（I）と2つの純粋形状変数（Θ：相対的距離比、Φ：相対的角）に基づく球座標を用いる。
• 部分的慣性モーメントとΦに基づく放物座標を導入し、シュレーディンガー方程式における変数分離を可能にする。
• 配置空間上での量子力学的ダイナミクスをモデル化するため、調和振動子型および宇宙論的動機付けのポテンシャルを導入する。
• 原子物理学における類似手法を用いて、球座標および放物座標における量子ハミルトニアン制約を解く。
• 波動関数を期待値、分散、確率密度分布を用いて分析し、配置空間のラベル付きタイル張りにマップする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間のない量子理論としての三角形でモデル化された宇宙から、半古典的時間はどのように出現するのか？
• RQ2 形状とサイズの期待値が、関係的宇宙の量子状態を解釈する上で果たす役割は何か？
• RQ3 球座標と放物座標の異なる座標系が、量子モデルの可解性および物理的解釈にどのように影響を与えるか？
• RQ4 確率密度関数は、同一直線上、正三角形、二等辺三角形といった意味のある物理的領域を明らかにできるか？
• RQ5 この関係的量子宇宙論フレームワークにおいて、縮約化とディラック量力学化の手法はどのように比較できるか？

主な発見

• 球座標および放物座標の両方で変数分離を用いた解析的取り扱いが可能であり、形状とサイズのダイナミクスが明確に解ける。
• 形状およびサイズ変数の期待値と分散が、量子状態の物理的解釈を可能にし、『ボーアの慣性モーメント』がスケール因子の代理として機能する。
• 確率密度関数が配置空間のラベル付きタイル張りに重ね合わされ、同一直線上、正三角形、二等辺三角形に対応する領域が明確に特定される。
• 本モデルはハートル型およびイシュム＝リンデンの歴史理論を支持しており、デコherenceと記録に基づく時間出現の枠組みを提供する。
• 球座標アプローチにより、ハリー・ホーキングのS³上での不均一性の分析と直接類似が可能となり、形状空間ダイナミクスへの応用が拡張される。
• 本モデルは一様性と摂動を的確に捉える頑健性を示しており、正三角形は最も一様な量子状態を表し、宇宙初期条件の基礎的研究を支援する。