[論文レビュー] Similarity Flow Solutions of a Non-Newtonian Power-law Fluid

Mohamed Guedda, Zakia Hammouch|ArXiv.org|Apr 2, 2009

Fluid Dynamics and Turbulent FlowsEngineering参考文献 19被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、一般化された相似変換を用いて、非ニュートン性のべき乗則を示す流体が伸びる平板上を流れる定常な層流境界層流れの類似解を調査している。剪切増粘流体（n > 1）に対して、無限個のグローバルで有界でない解の存在を証明し、その漸近的挙動を導出し、解の成長がべき乗則指数nと伸び率指数mに強く依存することを示している。

ABSTRACT

In this paper we present a mathematical analysis for a steady-state laminar boundary layer flow, governed by the Ostwald-de Wael power-law model of an incompressible non- Newtonian fluid past a semi-infinite power-law stretched flat plate with uniform free stream velocity. A generalization of the usual Blasius similarity transformation is used to find similarity solutions [1]. Under appropriate assumptions, partial differential equations are transformed into an autonomous third-order nonlinear degenerate ordinary differential equation with boundary conditions. Using a shooting method, we establish the existence of an infinite number of global unbounded solutions. The asymptotic behavior is also discussed. Some properties of those solutions depend on the viscosity power-law index.

研究の動機と目的

• ニュートン流体からの複数の類似解の解析を非ニュートン性のべき乗則流体へ拡張すること。
• 剪切増粘流体（n > 1）のグローバルで有界でない解の存在と漸近的挙動を調査すること。
• べき乗則指数nと伸び率指数mが解の構造および減衰・成長率に与える影響を検討すること。
• 非ニュートン性の流れ則に従うべき乗則流体に対するブラシウスの類似変換を一般化すること。

提案手法

• 2次元境界層の偏微分方程式を、第3階非線形常微分方程式に還元するため、一般化された類似変換を適用する。
• 流れ関数と類似変数にべき乗則スケーリングを用い、伸び率指数mと流体指数nに依存する。
• 得られる常微分方程式は、(|f''|^{n-1}f'')' + αff'' - m(f')² = 0 の形を取り、境界条件は f(0) = a, f'(0) = b, f'(∞) = 0 である。
• m ∈ (−2α, 0) および n > 1 の範囲で、グローバルで有界でない解の存在をシューティング法により確立する。
• エネルギー型汎関数と位相平面技術を用いた漸近的解析により、長時間挙動を導出する。
• リャプノフ型汎関数と積分推定を用いて、無限遠におけるべき乗則的成長への収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ニュートン性のべき乗則流体が境界層流れで伸びる平板上を流れる場合、複数のグローバルで有界でない類似解が存在するか？
• RQ2 べき乗則指数nは、これらの解の存在と漸近的挙動にどのように影響するか？
• RQ3 f(t) → ∞ となる t → ∞ のときの解の大きなtにおける挙動は何か？ そして、mとnにどのように依存するか？
• RQ4 シューティング法を用いて、非ニュートン流体の古典的ブラシウスの場合を越えた解の存在を証明できるか？

主な発見

• m ∈ (−2α, 0) および n > 1 の範囲で、問題は無限個のグローバルで有界でない類似解を許容する。
• f(t) → ∞ となる t → ∞ のとき、解は f(t) ∼ t^{α/(α−m)}(A + o(1)) の形で漸近的に成長する（あるA > 0）。
• 漸近的成長率は、べき乗則指数nと伸び率指数mの両方に依存する。
• 特別な場合 m = −α では、解は無限遠で f(t) ∼ t^{1/2} のように振る舞い、成長が遅いことが示される。
• 解の存在はシューティング法により確立され、常微分方程式の無限遠における挙動の厳密な解析が行われた。
• 漸近的挙動は積分推定とリャプノフ型汎関数を用いて導出され、べき乗則的成長への収束が保証された。