[論文レビュー] Small deformations and non-left-invariant complex structures on a compact solvmanifold

Keizo Hasegawa|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、連続的な非左不変複素構造の族を許容する6次元コンpakトなソルブマニフォールドを構成し、ソルブマニフォールド上の左不変複素構造の小さな変形が左不変性を保つとは限らないことを示している。3次元複素ソルブマニフォールドの分類が完了し、擬キähler構造を許容するものも特定された。また、3次元単連結な複素可解リー群上のすべての左不変複素構造が、$ℂ^3$ に複素同値であることが示された。主な結果は、タイプ(3b)のソルブマニフォールド上で変形論を用いて非左不変複素構造の存在を示したことである。

ABSTRACT

We observed in our previous paper that all the complex structures on four-dimensional compact solvmanifolds, including tori, are left-invariant. In this paper we will give an example of a six-dimensional compact solvmanifold which admits a continuous family of non-left-invariant complex structures. Furthermore, we will make a complete classification of three-dimensional compact homogeneous complex solvmanifolds; and determine which of them admit pseudo-Kaehler structures.

研究の動機と目的

• 4次元ソルブマニフォールド上のすべての複素構造が左不変であるという以前の結果を拡張し、高次元のソルブマニフォールド上に非左不変複素構造が存在するかを調査すること。
• ユニモジュラーな複素可解リー群における格子を分析することにより、3次元コンパクトな同調的複素ソルブマニフォールドをすべて分類すること。
• 3次元複素ソルブマニフォールドのうち、どのものが擬キähler構造を許容するかを特定し、必要な十分条件を同定すること。

提案手法

• 特に3次元ソルブマニフォールド上の複素構造の小さな変形に着目した、コンパクトなソルブマニフォールド上の複素構造の変形論を用いる。
• リー代数上のほぼ複素構造の積分可能性を検証するために、Nijenhuisテンソル条件を適用する。
• 複素化されたリー代数の複素部分代数の構造を分析し、左不変複素構造を特徴付ける。
• すべての左不変複素構造が$ℂ^3$ に複素同値であることを示すために、複素化されたリー代数の複素自己同型を構成する。
• Kodairaの変形論の結果を用いて、タイプ(3b)のソルブマニフォールドにおいて、非Steinな普遍被覆の連続族が存在することを同定する。
• リー代数の短完全系列の同値性を確立し、自己同型をリー代数のレベルから群のレベルに持ち上げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4より大きい次元のコンパクトなソルブマニフォールドで、非左不変複素構造を許容するものがあるか？
• RQ2 3次元単連結な複素可解リー群上のすべての左不変複素構造は、$ℂ^3$ に複素同値か？
• RQ3 どの3次元複素ソルブマニフォールドが擬キähler構造を許容するか？
• RQ4 ソルブマニフォールド上の複素構造の小さな変形において、左不変性の性質は保たれるか？
• RQ5 ソルブマニフォールド上の左不変構造の小さな変形から、連続的な非左不変複素構造の族が生じ得るか？

主な発見

• タイプ(3b)の3次元複素ソルブマニフォールドの小さな変形を用いて構成された6次元コンパクトなソルブマニフォールドが、連続的な非左不変複素構造の族を許容することが示された。
• 3次元単連結な複素可解リー群上のすべての左不変複素構造は、タイプ（アーベル、ノルム、非ノルム）にかかわらず、$ℂ^3$ に複素同値である。
• ユニモジュラーな複素可解リー群におけるすべての格子を特定することで、3次元コンパクトな同調的複素ソルブマニフォールドの分類が完了した。
• 3次元複素ソルブマニフォールドが擬キähler構造を許容するのは、タイプ(1)（アーベル）またはタイプ(3b)（非ノルムで$h^1 = 3$）である場合に限る。
• タイプ(3b)のソルブマニフォールドの複素構造の小さな変形が左不変でないことを示す例から、ソルブマニフォールド上の左不変複素構造の小さな変形が左不変性を保つとは限らないことが明らかになった。
• 変形された構造の普遍被覆は非Steinであるが、ソルブマニフォールドからその普遍被覆への標準写像は変形においても複素同値のままである。これは非左不変性を示している。