[論文レビュー] Soft Somewhat Continuous and Soft Somewhat Open Functions
本稿では、ソフト内部作用素を用いてソフトやや開集合を導入し、ソフト半連続およびソフト半開関数の一般化として、ソフトやや連続およびソフトやや開関数を定義する。主な貢献は、ソフトややホメオモーティズムが、ソフトメトリシビリティ、コンパクト性、ハウスドルフ性といった標準的なソフト位相的性質を保存しないことを確立したことであり、これは古典的ソフトホメオモーティズムとは根本的に異なる点を強調している。
In this paper, we define a soft somewhat open set using the soft interior operator. We study main properties the class of soft somewhat open sets that is contained in the class soft somewhere dense sets. Then, we introduce the classes of soft somewhat continuous and soft somewhat open functions and soft somewhat homeomorphisms. Moreover, we study properties and characterizations of soft somewhat continuous and soft somewhat open functions. At last, we discuss topological invariants for soft somewhat homeomorphisms. Multiple examples are offered to clarify some invalid results.
研究の動機と目的
- ソフト内部作用素を用いてソフトやや開集合を定義・調査すること。
- ソフト半連続性とソフトどこか稠密連続性の中間概念として、ソフトやや連続およびソフトやや開関数を導入・特徴づけること。
- ソフトややホメオモーティズムを定義し、位相的不変性との関係でその性質を検討すること。
- ソフトややホメオモーティズムが、ソフトメトリシビリティ、コンパクト性、ハウスドルフ性といった標準的なソフト位相的性質を保存しないことを示すこと。
提案手法
- コードメインにおけるソフト内部が空でない集合として、ソフトやや開集合を定義する。
- ソフト開集合の逆像がソフトやや開であることを条件として、ソフトやや連続関数を導入する。
- 非空のソフト開集合を写像して得られる集合のソフト内部が非空である関数として、ソフトやや開関数を定義する。
- ソフトやや開集合と他の一般化されたソフト開集合（例えばソフト半開集合やソフトβ開集合）との関係を確立する。
- ソフトやや開関数がソフト半開関数より弱いが、ソフトどこか稠密開関数より強いことを証明する。
- 反例を用いて、ソフトややホメオモーティズムが、メトリシビリティ、局所コンパクト性、T₀分離公理といったソフト位相的性質を保存しないことを示す。
実験結果
リサーチクエスチョン
- RQ1ソフトやや開集合は、ソフト半開集合やソフトβ開集合といった他の一般化されたソフト開集合とどのように関係するか？
- RQ2関数がソフトやや連続またはソフトやや開であるための必要十分条件は何か？
- RQ3ソフトややホメオモーティズムは、ソフトコンパクト性やソフトハウスドルフ性といった標準的なソフト位相的性質を保存できるか？
- RQ4ソフトややホメオモーティズムは、ソフト位相的構造の不変性にどのような意味を持つのか？
- RQ5包含関係および独立性の観点から、ソフトやや開集合とソフトどこか稠密集合はどのように比較できるか？
主な発見
- ソフトやや開集合はソフトどこか稠密集合のクラスに含まれるが、ソフトβ開集合とは独立である。
- ソフトやや連続関数はソフト半連続関数より弱いが、ソフトどこか稠密連続関数より強い。
- ソフトやや開関数はソフト半開関数より弱いが、ソフトどこか稠密開関数より強い。
- ソフトややホメオモーティズムは、ソフトメトリシビリティ、ソフト局所コンパクト性、ソフト連結性を保存しないことが、反例によって示された。
- 実数直線ℝ上の標準的ソフト位相からソフトソルゲンフライ直線への恒等写像は、ソフトややホメオモーティズムであるが、コドメインはソフトメトリシビリティおよびソフト局所コンパクト性を欠いている。
- ソフトややホメオモーティズムは分離公理を保存しないことも、反例によって示された。T₀空間がソフトT₁でないにもかかわらず、ソフトややホメオモーティズムの像であるという事例が存在する。
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