[論文レビュー] Solutions of Vectorial Hamilton-Jacobi Equations are Rank-One Absolute Minimisers in $L^\infty$

Nikos Katzourakis|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2016

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ひとこと要約

この論文は、$H$ が連続的かつランク1凸性を満たすという最小限の仮定の下で、ベクトル値ハミルトニアン・ジャコビ方程式 $H(x, \mathrm{D}u) = c$ の古典的 $C^1$ 解が、$L^\infty$ 機能 $E_\infty(u, \Omega') = \mathrm{ess}\,\sup_{\Omega'} H(\cdot, \mathrm{D}u)$ に対してランク1絶対最小化子であることを確立する。この結果は、アロンサソンの $L^\infty$ 最小化原理をベクトル値設定に拡張し、ベクトル値 $L^\infty$ 変分法理論における重要な空白を解消する。

ABSTRACT

Given the supremal functional $E_\infty(u,Ω')=ess\,\sup_{Ω'} H(\cdot,D u)$ defined on $W^{1,\infty}_{loc}(Ω,\mathbb{R}^N)$, $Ω' \Subset Ω\subseteq \mathbb{R}^n$, we identify a class of vectorial rank-one Absolute Minimisers by proving a statement slightly stronger than the next claim: vectorial solutions of the Hamilton-Jacobi equation $H(\cdot,D u)=c$ are rank-one Absolute Minimisers if they are $C^1$. Our minimality notion is a generalisation of the classical $L^\infty$ variational principle of Aronsson to the vector case and emerged in earlier work of the author. The assumptions are minimal, requiring only continuity and rank-one convexity of the level sets.

研究の動機と目的

• $N \geq 2$ の場合に、古典的なアロンサソン理論が勾配係数の不連続性のため機能しないため、ベクトル値 $L^\infty$ 変分問題における厳密な最小化概念の欠如に対処する。
• 関数 $W^{1,\infty}_{\text{loc}}(\Omega, \mathbb{R}^N)$ のベクトル値関数に対する、絶対最小化の自然な一般化であるランク1絶対最小化を同定する。
• 関数 $H$ が勾配に関して連続的かつランク1凸性を満たす場合、ハミルトニアン・ジャコビ方程式 $H(x, \mathrm{D}u) = c$ の解がランク1絶対最小化子であることを確立する。
• スカラー $\infty$-調和理論をベクトル値に拡張する、ベクトル値 $L^\infty$ 変分法における基礎的結果を提供する。
• $N \geq 2$ の場合に、$\infty$-ラプラシアン系の係数行列が不連続である問題を解消する。これは、標準的な最小化概念を無効にする。

提案手法

• ランク1絶対最小化を、アロンサソンの絶対最小化のベクトル値への一般化として定義し、任意の部分領域における $H$ の本質的上限が関数の勾配構造によって最小化されることを要件とする。
• 滑らかなモリフィア $\eta^{\varepsilon/k}$ と分区関数 $\{\zeta_k\}$ を用いた摂動法により、テスト関数 $\psi$ に対して最小化条件を検証する。
• $H$ の連続性とランク1凸性を用いて、摂動勾配に沿った $H$ の本質的上限を制御し、連続性モジュラス $\omega_1, \omega_2$ を用いて誤差を推定する。
• 単位ベクトル $\xi$ を用いてテスト関数 $u = \xi \cdot \psi$ を構成し、勾配 $\mathrm{D}u$ を分解 $\mathrm{D}u = \xi \otimes \mathrm{D}(\xi \cdot \psi) + [\xi]^\perp \mathrm{D}\psi$ を用いて分析する。
• $\xi$ と $[\xi]^\perp$ の直交性を用いて勾配成分を分離し、三角不等号と連続性推定を用いて $H$ の本質的上限を評価する。
• 摂動推定において $\varepsilon \to 0$ の極限を取ることで、$\mathrm{ess}\sup_{\Omega'} H(\cdot, \mathrm{D}u) \leq \mathrm{ess}\sup_{\mathbb{B}_\rho(x_0)} H(\cdot, \mathrm{D}\psi)$ を示し、最小化を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的 $C^1$ 解であるベクトル値ハミルトニアン・ジャコビ方程式 $H(x, \mathrm{D}u) = c$ は、$L^\infty$ 機能 $E_\infty(u, \Omega') = \mathrm{ess}\sup_{\Omega'} H(\cdot, \mathrm{D}u)$ に対してランク1絶対最小化子であるか？
• RQ2 $\infty$-ラプラシアン系の係数行列が不連続である場合、絶対最小化の概念をどのようにベクトル値に一般化できるか？
• RQ3 $H$ にどのような最小限の仮定を課すと、$H(x, \mathrm{D}u) = c$ の解がランク1の意味で最小化子となるか？
• RQ4 標準的なアロンサソンの $L^\infty$ 変分原理を、$\min\{n, N\} = 1$ を要件としないでベクトル値に拡張できるか？
• RQ5 $H$ の等高線のランク1凸性に加え、連続性が保たれる場合、$H$-解が $L^\infty$ の意味で最小化子であることを保証するのに十分か？

主な発見

• 連続的かつランク1凸性を満たす $H$ の下で、ベクトル値ハミルトニアン・ジャコビ方程式 $H(x, \mathrm{D}u) = c$ の古典的 $C^1$ 解は、$L^\infty$ 機能 $E_\infty(u, \Omega') = \mathrm{ess}\sup_{\Omega'} H(\cdot, \mathrm{D}u)$ に対してランク1絶対最小化子である。
• 最小化は、任意の $\psi$ について $\psi = u$ on $\partial \Omega'$ を満たすとき、$\mathrm{ess}\sup_{\Omega'} H(\cdot, \mathrm{D}u) \leq \mathrm{ess}\sup_{\Omega'} H(\cdot, \mathrm{D}\psi)$ が成り立つという意味で成立し、最小化条件が証明される。
• ランク1絶対最小化は、$\infty$-ラプラシアン系の係数行列が不連続であっても、ベクトル値におけるアロンサソンの絶対最小化の正しい一般化である。
• 証明は、滑らかにしたベクトル場と分区関数を用いた摂動法に依存し、$H$ および $\mathrm{D}u$ の連続性モジュラスによる誤差推定が制御される。
• この結果は、一般の $H$ に対して成り立つ。$H$ は勾配に関して連続的かつランク1凸性を満たすものとし、$n$ や $N$ に制限はない。これは、ベクトル値 $L^\infty$ 変分法における重要な未解決問題を解決する。
• $N \geq 2$ の場合に、$[\mathrm{D}u]^\perp$ の係数行列の不連続性があっても、$H$ が所定の凸性および連続性条件を満たしていれば最小化は成立する。