[論文レビュー] Some new homology and cohomology theories of manifolds and orbifolds

Dominic Joyce|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 68被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、幾何的および正規性条件を満たす四重項 (V, n, s, t) で生成されるチェーン複体に基づき、多様体および有効なオーロリフォールドに対して、M-ホモロジーおよびM-コホモロジーと呼ばれる新しいホモロジーおよびコホモロジー理論の族を導入する。主な貢献は、これらの理論がエイレンベルク＝スティーンロッド公理を満たし、従来の（コ）ホモロジーと自然に同型である一方で、特にシンプレクティック幾何における横断的構成や仮想サイクルの構成において、（コ）チェーンレベルでの優れた性質を示すことにある。

ABSTRACT

For each manifold or effective orbifold $Y$ and commutative ring $R$, we define a new homology theory $MH_*(Y;R)$, $M$-$homology$, and a new cohomology theory $MH^*(Y;R)$, $M$-$cohomology$. For $MH_*(Y;R)$ the chain complex $(MC_*(Y;R),\partial)$ is generated by quadruples $[V,n,s,t]$ satisfying relations, where $V$ is an oriented manifold with corners, $n\in\mathbb N$, and $s:V o{\mathbb R}^n$, $t:V o Y$ are smooth with $s$ proper near 0 in ${\mathbb R}^n$. We show that $MH_*(Y;R),MH^*(Y;R)$ satisfy the Eilenberg-Steenrod axioms, and so are canonically isomorphic to conventional (co)homology. The usual operations on (co)homology -- pushforwards $f_*$, pullbacks $f^*$, fundamental classes $[Y]$ for compact oriented $Y$, cup, cap and cross products $\cup,\cap, imes$ -- are all defined and well-behaved at the (co)chain level. Chains $MC_*(Y;R)$ form flabby cosheaves on $Y$, and cochains $MC^*(Y;R)$ form soft sheaves on $Y$, so they have good gluing properties. We also define $compactly$-$supported$ $M$-$cohomology$ $MH^*_{cs}(Y;R)$, $locally$ $finite$ $M$-$homology$ $MH_*^{lf}(Y;R)$ (a kind of Borel-Moore homology), and two variations on the entire theory, $rational$ $M$-($co$)$homology$ and $de$ $Rham$ $M$-($co$)$homology$. All of these are canonically isomorphic to the corresponding type of conventional (co)homology. The reason for doing this is that our M-(co)homology theories are very well behaved at the (co)chain level, and will be better than other (co)homology theories for some purposes, particularly in problems involving transversality. In a sequel we will construct virtual classes and virtual chains for Kuranishi spaces in M-(co)homology, with a view to applications of M-(co)homology in areas of Symplectic Geometry involving moduli spaces of $J$-holomorphic curves.

研究の動機と目的

• 多様体および有効なオーロリフォールドのための、（コ）チェーンレベルで良好に振る舞う新しいホモロジーおよびコホモロジー理論を開発すること。
• Kuranishi空間における仮想クラスおよび仮想チェーンをM-（コ）ホモロジーを用いて構成するための枠組みを提供すること。
• 従来の（コ）ホモロジーを、チェーンレベルでの関手性および積構造の向上により一般化すること。
• コンパクト台付き、局所有限、有理数、de Rham なバージョンのM-（コ）ホモロジーを定義すること。
• M-（コ）ホモロジーと標準的（コ）ホモロジー理論との間の自然な同型を確立すること。

提案手法

• V がコーナー付きの向き付けられた多様体で、s: V → R^n が 0 の近傍で正規、t: V → Y が滑らかであるような四重項 (V, n, s, t) の同値類で生成されるチェーン複体を用いて、M-ホモロジーおよびM-コホモロジーを定義する。
• 関手性および横断性との整合性を保つために、正規性、コオリエンテーション、およびサブマージョン条件を含む、生成子に制約を課す。
• 微分幾何およびスーパー代数からの符号規約を用い、ファイバー積を用いて、チェーンレベルでカップ積、キャップ積、クロス積を直接構成する。
• チェーンおよびコチェーンの台の制限条件を緩和することで、コンパクト台付きおよび局所有限なバージョンを導入する。
• Q でのテンソル積を取るか、微分形式を用いることで有理数およびde Rham版を定義し、標準理論との同型性を保つ。
• すべてのM-（コ）ホモロジー理論がエイレンベルク＝スティーンロッド公理を満たし、従来の（コ）ホモロジー理論と自然に同型であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様体およびオーロリフォールドに対して、特に横断性の下で（コ）チェーンレベルで良好に振る舞う新しいホモロジーおよびコホモロジー理論を構成できるか？
• RQ2 提案されたM-（コ）ホモロジー理論は、標準的（コ）ホモロジー理論と自然に同型であるか？
• RQ3 カップ積、キャップ積、クロス積、引き戻し、押し出しといった通常の演算が、この新しい枠組みにおいて（コ）チェーンレベルで適切に定義され、良好に振る舞うか？
• RQ4 コンパクト台付きおよび局所有限なM-（コ）ホモロジーのバージョンは存在し、期待される双対性およびグルーピング性質を満たすか？
• RQ5 M-（コ）ホモロジーの有理数版およびde Rham版は、より優れた対称性および微分幾何学との適合性を備えて定義可能か？

主な発見

• M-ホモロジーおよびM-コホモロジー MH∗(Y; R) および MH∗(Y; R) は、正規性およびサブマージョン条件を満たす四重項 (V, n, s, t) で生成されるチェーン複体の（コ）ホモロジーとして定義される。
• すべてのM-（コ）ホモロジー理論はエイレンベルク＝スティーンロッド公理を満たし、従来の（コ）ホモロジー理論と自然に同型である。
• 通常の演算（カップ積、キャップ積、クロス積、引き戻し、押し出し）は、（コ）チェーンレベルで適切に定義され、良好に振る舞う。
• チェーン MC∗(Y; R) はフラッピーなコシーブであり、コチェーン MC∗(Y; R) はソフトなシーヴであるため、強いグルーピング性および局所性の性質が保証される。
• コンパクト台付きM-コホモロジー MH∗_cs(Y; R) および局所有限M-ホモロジー MHlf_∗(Y; R) が定義され、それらは標準的対応物と同型である。
• 有理数およびde Rham版のM-（コ）ホモロジーが構成され、有理数M-コホモロジーではカップ積がスーパー可換性を示す。