[論文レビュー] Spaces of Observables from Solving PDEs. I. Translation-Invariant Theory

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2018

Quantum Mechanics and Applications参考文献 31被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、制約ブラケットから導かれる一階偏微分方程式（PDE）を解くことにより、移動および再パラメトライゼーション不変理論における古典的正準観測量を体系的に構成する手法を開発する。異なるクラスの観測量—ディラック型、無制限型、クロノス型、ゲージ型—を区別し、特徴的問題を用いた解法によりそれらの解を示す。主な結果として、強い観測量と弱い観測量がPDE系の特定解と補助関数解の関係にあることが明らかになる。

ABSTRACT

Finding classical canonical observables consists of taking a function space over phase space. For constrained theories, these functions must form zero brackets with a closed algebraic structure of first-class constraints. This brackets condition can moreover be recast as a first-order PDE system, to be treated as a free characteristic problem. We explore explicit observables equations and their concrete solutions for a translation- and reparametrization-invariant action, thereby populating the following variety of notions of observables with examples. 1) The brackets can be strongly or weakly zero in Dirac's sense, i.e.\ a linear combination of constraints. 2) Observables can admit pure-configuration and pure-momentum restrictions. 3) Our model provides the translation constraint P$_i$ encoding zero total momentum of the model universe and depending homogeneous-linearly on momenta, and the Chronos constraint equation of time reinterpretation of the `constant-energy condition' and depending quadratically on momenta. These are mechanical analogues of GR's momentum M$_i$ and Hamiltonian H constraints respectively. P$_i$ and Chronos moreover algebraically close separately (only M$_i$ does for GR). Our model thus supports translation gauge-observables $G$ and Chronos observables $C$, as well as unrestricted observables $U$ and Dirac observables $D$ brackets-commuting with neither and both respectively. We relate the strong to properly-weak split of weak observables to the complementary-function to particular-integral split of the complete solution, with the properly-weak rendered of measure-0 relative to the strong by the latter's free characteristicness. The closed algebraic structures form a bounded lattice and the corresponding notions of observables a dual lattice, with the observables themselves forming a presheaf of function spaces thereover.

研究の動機と目的

• 制約付き力学系における複数の明確に異なる観測量の概念を、背景独立的かつ時間再パラメトライゼーション不変モデルにおいて具体的に提示すること。
• ポisson括弧と制約との条件から導かれる一階PDE系として定式化することにより、古典的正準力学における観測量の問題を解決すること。
• PDEの特解と補助関数解の分解を用いて、強い観測量と弱い観測量の関係を明確にすること。
• 制約代数のラティス構造と観測量タイプの双対ラティスを確立し、観測量がこの構造上のプレシェーフをなすようにすること。
• この枠組みを場の理論、量子系、およびグローバルまたは幾何学的に構造化されたモデルへ拡張する基盤を築くこと。

提案手法

• 関数が観測量であるための条件を、第一級制約とのポアソン括弧が消えることから導かれる一階PDE系として定式化する。
• PDE系を特徴的問題として解くための自由特徴的問題法を適用し、初期データを特徴的超曲面上に与える境界値問題として扱う。
• 二つの主要な制約を特定する：運動量に関して線形な移動制約 $\mathcal{P}_i$ と、運動量に関して二次のクロノス制約 $\mathcal{C}$ で、両者とも閉じた代数的構造を持つ。
• 括弧条件が恒等的に成り立つか、あるいは制約の線形結合として成り立つかに基づき、強い観測量と弱い観測量を区別する。
• 一般解を特解と補助関数に分解することにより、弱い観測量が強い観測量に対して測度ゼロであることを特徴づける。
• 制約代数構造の有界ラティスと、観測量タイプの双対ラティスを構築し、観測量がこの構造上のプレシェーフをなすようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてPDEを用いて、移動不変理論における古典的正準観測量を体系的に構成できるか？
• RQ2 制約PDEの解構造に関して、強い観測量と弱い観測量の明確な関係は何か？
• RQ3 ディラック型、無制限型、クロノス型、ゲージ型という異なる種類の観測量は、制約の代数的および幾何学的構造からどのように生じるか？
• RQ4 PDE系の解が特解と補助関数解にどのように分解されるか？
• RQ5 このモデルにおける制約代数のラティス構造と、観測量タイプの双対ラティスの関係は何か？

主な発見

• モデルは、一般相対性理論では運動量制約代数が閉じないため存在しない、移動ゲージ観測量 $G$ とクロノス観測量 $C$ を実現する。
• 移動制約 $\mathcal{P}_i$ とクロノス制約 $\mathcal{C}$ は、それぞれ独立して閉じた代数的構造を持つが、一般相対性理論ではハミルトニアン制約 $\mathcal{H}$ のみが運動量制約と閉じる。
• 強い観測量はPDEの特解に対応し、弱い観測量は補助関数に対応する。後者は自由特徴的問題の性質上、測度ゼロである。
• 観測量の空間は、制約代数的構造の有界ラティス上にプレシェーフをなし、観測量タイプに対して双対ラティス構造を持つ。
• モデルは、配置空間観測量と幾何学的に保存される量を結ぶ「ブリッジ定理」の具体的実現を提供し、$\mathcal{O}_{\mathbf{Q}}(\mathfrak{s}) = \mathcal{Q}(\mathfrak{s})$ がその系として得られる。
• この枠組みは場の理論へ一般化可能であり、PDEが関数微分方程式（FDE）に変わる。これにより、制約付き系におけるFDEの今後の研究への道筋が示唆される。