[論文レビュー] Spectral Radii of Bounded Operators on Topological Vector Spaces

Vladimir G. Troitsky|ArXiv.org|Apr 8, 2000

Advanced Banach Space TheoryMathematics参考文献 16被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、バナッハ空間を超えた一般の位相線形空間（TVS）における有界線形作用素の一般化されたスペクトル論を展開し、スペクトル半径のゲルファンド公式およびノイマン級数の収束性を一般化する。スペクトル半径とスペクトルは作用素の有界性クラス（nb, nn, bb など）に依存し、各クラスにおけるスペクトル半径はゲルファンド公式により定義され、|λ| がスペクトル半径を上回るときノイマン級数が収束する。

ABSTRACT

In this paper we develop a version of spectral theory for bounded linear operators on topological vector spaces. We show that the Gelfand formula for spectral radius and Neumann series can still be naturally interpreted for operators on topological vector spaces. Of course, the resulting theory has many similarities to the conventional spectral theory of bounded operators on Banach spaces, though there are several important differences. The main difference is that an operator on a topological vector space has several spectra and several spectral radii, which fit a well-organized pattern.

研究の動機と目的

• 古典的スペクトル論がバナッハ空間に限られていたのを、一般の位相線形空間（TVS）へ拡張すること。ここでは、ノルムや完備性といった標準的ツールが欠落している。
• 特に不変部分空間問題への応用を念頭に、TVS上における有界作用素のスペクトル論が未だ十分に発展していないという問題を扱うこと。
• TVS上での作用素の異なる有界性クラス（nb, nn, bb, 連続, 線形）に基づいて、複数のスペクトルおよびスペクトル半径を定義・分析すること。
• ノイマン級数がTVSで収束する条件を確立し、バナッハ空間における古典的結果を一般化すること。
• 逐次完備な局所凸空間において、nb-有界作用素およびコンパクト作用素に対して、スペクトル半径が幾何的スペクトル半径（λI − T が可逆でないような |λ| の上限）に等しいことを証明すること。

提案手法

• TVS上での有界作用素の5つの異なるクラス（nb-有界、nn-有界、bb-有界、連続、線形）を導入し、入れ子構造を持つ階層を形成する。
• 各クラスにおける作用素のスペクトルを、λI − T がそのクラス内で可逆でないような λ の集合として定義する。
• ゲルファンド公式の一般化：各有界性クラスに対して、そのクラスに適合した作用素セミノルムを用いて、スペクトル半径 r(T) = limₙ→∞ ||Tⁿ||^(1/n) を定義する。
• 混合セミノルムとゼロ近傍によって誘導される位相 (X,U) を用いて、級数および予前作用素の収束を定義する。
• |λ| > r(T) のとき、ノイマン級数 ∑ₙ₌₀^∞ Tⁿ/λⁿ⁺¹ を用いて、作用素 R(λ;T) の予前作用素を定義する。
• 閉拡張の議論と定義域の稠密性を用いて、稠密部分空間上の予前作用素と完備空間上の全作用素との間の予前作用素の関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトル半径のゲルファンド公式は、バナッハ空間から一般の位相線形空間上での有界作用素へ一般化可能か？
• RQ2 TVS上での異なる有界性クラスの文脈において、複数のスペクトルおよびスペクトル半径はどのように生じるか？
• RQ3 ノイマン級数が位相線形空間で収束する条件は何か？ そしてそれはスペクトル半径とどのように関係するか？
• RQ4 TVSの文脈において、スペクトル半径は幾何的スペクトル半径（λI − T が可逆でないような |λ| の上限）に等しいか？
• RQ5 逐次完備な局所凸空間において、nb-有界作用素とコンパクト作用素のスペクトル半径は一致するか？

主な発見

• スペクトル半径のゲルファンド公式は、位相線形空間上での5つの有界性クラス（nb, nn, bb, 連続, 線形）すべてに一般化された。
• 逐次完備な局所凸空間上の連続作用素について、任意の有界性クラスで |λ| > r(T) ならば、ノイマン級数 ∑ₙ₌₀^∞ Tⁿ/λⁿ⁺¹ がそのクラスの位相で収束し、λ はスペクトルに属さない。
• 各有界性クラスにおけるスペクトル半径は幾何的スペクトル半径以上であり、nb-有界作用素およびコンパクト作用素では等号が成り立つ。
• 作用素 T がその定義域 D 上の制限の最小閉拡張であるとき、予前作用素 R(λ;T) は稠密部分空間 D から全空間 X へ拡張可能である。
• 作用素 T が稠密部分空間 D 上で定義され、T|D の nn-予前作用素集合に λ が含まれるならば、T の予前作用素集合にも λ が含まれる。ただし T が最小閉拡張であるものとする。
• D 上の予前作用素 R(λ;T) の nb-スペクトル半径は、rₙb(R|D) ≤ r(R) を満たし、異なるクラス間のスペクトル半径を結ぶ。