[論文レビュー] Static Solutions of the Einstein Equations for Spherically Symmetric Elastic Bodies

Jiseong Park|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 1998

Elasticity and Material ModelingEngineering参考文献 11被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、一般相対性理論における一般的構成関係を有する弾性体に対して、正則で球対称な静的解が存在し、一意的であることを確立する。系をひずみ不変量に関するFuchsian型常微分方程式に還元することで、中心近傍における局所的解の存在を証明し、さらに二次的構成関係の場合には境界まで正則性が保たれることを示し、スワーツシルト真空中への滑らかな一致が保証される。

ABSTRACT

The paper is concerned with the Einstein equations for a spherically symmetric static distribution of anisotropic matter. The equations are cast into a system of Fuchsian type ODE for certain scalar invariants of the strain. And then the existence and regularity of this ODE is studied under general constitutive relation. In the case the constitutive relation is given by a quadratic form of strain, it is also shown that the solutions stay regular up to the boundary of the material ball.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における球対称な弾性体に対して、一般的な存在定理が不足している問題を解決すること。
• 適合条件を満たす任意の構成関係に対して、中心近傍における正則解の存在と一意性を確立すること。
• ひずみに関して二次的構成関係である場合、解が境界まで正則のままであることを示すこと。
• 質量半径比が1/2未満で有界であることを証明し、漸近的平坦性および滑らかな真空中への一致を保証すること。
• 非平坦な物質多様体に対しても解析を拡張し、やや弱い幾何的仮定のもとで結果が成り立つことを示すこと。

提案手法

• 球対称なアインシュタイン方程式を、ひずみテンソルのスカラー不変量に関するFuchsian型常微分方程式系に還元すること。
• Rendall-Schmidtの定理を用いて、中心近傍における解の局所的存在と一意性を証明すること。
• 時空計量に対する物質計量のプッシュバックの対数写像を用いてひずみを定義し、適切に定義され、対称的かつ空間的ひずみテンソルが得られることを保証すること。
• エネルギー密度および応力がひずみの関数として表される構成関係を導入し、閉じた常微分方程式系への還元を可能にすること。
• Rein（2001）のVlasov系に対する手法に類似した方法を用いて質量半径比の上限を導出し、大域的正則性および真空中への一致を保証すること。
• 物質計量が非平坦である場合の解析を拡張するため、ひずみ不変量の径方向微分に関する補助方程式を修正すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた構成関係および中心圧力のもとで、球対称な弾性体が一般相対性理論において一意的かつ正則な解を有するための条件は何か？
• RQ2 構成関係がひずみに関して二次的である場合、解は物質球の境界まで正則のままであるか？
• RQ3 球対称性のもとで、弾性体の質量半径比の上界は何か？ そしてそれはスワーツシルト真空中への滑らかな一致を保証するか？
• RQ4 理論は非平坦な物質多様体へどのように拡張できるか？ また、局所的解の存在結果は依然として成り立つか？
• RQ5 接線方向応力は事前に正則であると仮定できるのか、それとも質量半径比の上限がその正則性を導く結果なのか？

主な発見

• 適合条件を満たす任意の構成関係および中心圧力に対して、中心近傍で一意的かつ正則な解が存在する。
• 構成関係がひずみに関して二次的である場合、解は境界まで正則であり、径方向応力が消える点まで継続する。
• 質量半径比は1/2未満の定数で有界であり、これにより時空が漸近的に平坦であることが保証される。
• 接線方向応力は、事前に正則であると仮定していないにもかかわらず、物体全体にわたり有界かつ正則のままである。
• 非負で有界かつ単調増加な物質計量関数を有する非平坦な物質多様体に対しても、結果は拡張可能である。
• 物質計量が非平坦であっても、関数f(y)がg(0)=1およびf'(y) ≥ 0を満たす限り、Fuchsian枠組みは同じように適切に定義される。