[論文レビュー] Statistics for Anticyclotomic Iwasawa Invariants of Elliptic Curves

Jeffrey Hatley, Debanjana Kundu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 50被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、虚二次体の反対循環 ℤp-拡大における楕円曲線の p-主 Selmer 群の Iwasawa 不変量、特に μ-および λ-不変量の平均的挙動を調査する。Cohen–Lenstra にインspiredされた算術的統計とヒューリスティクスを用いて、λ-不変量の平均に対する漸近公式を導出し、特に TATE–SHAFAREVICH 群が有限で、曲線が p で良い通常還元を持つ場合に μ-不変量が消える可能性を裏付ける証拠を提示する。

ABSTRACT

We study the average behaviour of the Iwasawa invariants for Selmer groups of elliptic curves, considered over anticyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extensions in both the definite and indefinite settings. The results in this paper lie at the intersection of arithmetic statistics and Iwasawa theory.

研究の動機と目的

• 楕円曲線の Selmer 群の Iwasawa μ-および λ-不変量の平均的分布を、反対循環設定において理解すること。
• Selmer 群を虚二次体の反対循環 ℤp-拡大上で分析することにより、Iwasawa 理論への算術的統計の拡張を図ること。
• TATE–SHAFAREVICH 群の有限性と Iwasawa 不変量の挙動との相関関係を調査すること。
• μ-不変量の消滅および楕円曲線族全体における λ-不変量の平均的大きさについて、ヒューリスティクス的および条件付きの証拠を提供すること。
• 楕円曲線、素数、虚二次体の変動に伴う Selmer 群の統計的挙動を、特に良い通常還元の文脈で探求すること。

提案手法

• Cohen–Lenstra ヒューリスティクスにインspiredされた統計的手法を採用し、楕円曲線族全体における Iwasawa 不変量の分布をモデル化する。
• Iwasawa 環 Λ ≅ ℤp[[T]] の構造を用いて、Selmer 群の Pontryagin 対双対の特徴多項式を分析する。
• μ-不変量は、多項式 f_E^(p)(T) に含まれる p のべきとして定義され、λ-不変量はその次数である。
• p-進 Weierstrass 準備定理を適用し、特徴多項式を区別された多項式の形に表現する。
• Pollack–Weston や他の研究の結果を活用し、条件 (CR) と p-主 TATE–SHAFAREVICH 群の有限性の下で、μ-不変量の消滅を条件付きで導出する。
• 数値データおよび表（例：#S_p/p² に関する表 2）を用いて、λ-不変量の平均的挙動に関するヒューリスティクス予測を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された楕円曲線 E と固定された虚二次体 K に対して、奇素数 p が E の良い通常還元を満たす範囲で変化する際、p-主 Selmer 群の Iwasawa μ-および λ-不変量は平均的にどのように変化するか？
• RQ2 固定された楕円曲線 E と素数 p に対して、K = ℚ(√−d) が d > 0 を満たす範囲で変化する際、不変量はどのように変化するか？
• RQ3 固定された p と K に対して、ℚ 上のすべての楕円曲線 E（高さで順序付けたもの）を変化させたとき、λ-不変量の平均的挙動は何か？
• RQ4 どのような条件下で μ-不変量が消えると予想され、それは p-主 TATE–SHAFAREVICH 群の有限性とどのように関係するか？
• RQ5 反対循環設定における λ-不変量の予想される平均的大きさは何か？また、これは巡回設定と比べてどう異なるか？

主な発見

• ヒューリスティクスモデルに基づき、反対循環 ℤp-拡大における楕円曲線の λ-不変量の平均は、漸近的に (1 + p)(1 + q)ζ(2)⁻¹ になると予測される。
• p-主 TATE–SHAFAREVICH 群が有限で、条件 (CR) が成立する場合、μ-不変量が消える楕円曲線が正の割合で存在すると予想される。
• 表 2 の数値データは、λ-不変量に関連する集合 𝔖_p の正規化されたサイズが、7 ≤ p < 150 の範囲で約 0.02–0.06 の値に安定することを示している。
• 表 3 に示される具体的な例では、点の p-進対数が p-進単元であることが確認され、(E, K, p) 三重の適切性を支持する。
• p と K が固定された場合の主要な障害は、E の導手の素因数が K で分解するという条件であり、このためこのような曲線の集合は統計的分析に適さないほど疎である。
• しかし、TATE–SHAFAREVICH 群が有限であれば、λ-不変量は Mordell–Weil ランク以上であり、場合によってはそれより厳密に大きい可能性があるため、平均的挙動の分析が動機づけられる。