[論文レビュー] Strong convergence rates for a full discretization of stochastic wave equation with nonlinear damping

Meng Cai, David Cohen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2023

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance参考文献 46被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、1次元および2次元空間における非線形減衰を有する確率的波動方程式の完全離散化に対して、強収束率を強く確立している。空間方向にはスペクトルガレルキン法を、時間方向には修正された陰的指数Eulerスキームを用いることで、1次元では空間方向に $\frac{1}{2}$ 階、時間方向に1階の収束率を達成し、2次元ではSobolev埋め込み不等式に起因する無限小要因のため収束率が低下するが、全近似のモーメントバウンドを仮定しないで済む。

ABSTRACT

The paper establishes the strong convergence rates of a spatio-temporal full discretization of the stochastic wave equation with nonlinear damping in dimension one and two. We discretize the SPDE by applying a spectral Galerkin method in space and a modified implicit exponential Euler scheme in time. The presence of the super-linearly growing damping in the underlying model brings challenges into the error analysis. To address these difficulties, we first achieve upper mean-square error bounds, and then obtain mean-square convergence rates of the considered numerical solution. This is done without requiring the moment bounds of the full approximations. The main result shows that, in dimension one, the scheme admits a convergence rate of order $ frac12$ in space and order $1$ in time. In dimension two, the error analysis is more subtle and can be done at the expense of an order reduction due to an infinitesimal factor. Numerical experiments are performed and confirm our theoretical findings.

研究の動機と目的

• 1次元および2次元空間における非線形減衰を有する確率的波動方程式の完全離散化の強収束率を確立すること。
• 誤差解析において超線形に増加する減衰項が引き起こす課題に対処すること。
• 全近似のモーメントバウンドを仮定しないで最適な収束率を達成する数値スキームを開発すること。
• 1次元および2次元の設定において理論的結果を数値実験で検証すること。

提案手法

• 空間離散化にスペクトルガレルキン法を適用し、ラプラシアンの固有関数で張られる有限次元部分空間へSPDEを射影する。
• 時間離散化に修正された陰的指数Eulerスキームを用い、非線形減衰を扱い、安定性を維持するように設計されている。
• 誤差解析は、伊藤の公式と確率積分の推定を用いた上界の平均二乗誤差バウンドを通じて実施される。
• 主な推定では、Sobolev埋め込み不等式を用いて残差項をバウンドし、解およびその増分のモーメントバウンドを活用する。
• 全数値近似の事前モーメントバウンドを要求しない分析により、収束結果のロバストネスが向上する。
• 離散スキームにおける残差項の条件付き期待値を精確に推定することで、理論的収束率が導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形減衰を有する確率的波動方程式の完全離散化スキームの、1次元空間における強収束率は何か？
• RQ2 超線形に増加する減衰項の存在が、数値スキームにおける誤差解析および収束率に与える影響は何か？
• RQ3 全数値近似のモーメントバウンドを課さずに、2次元空間において最適な収束率を達成できるか？
• RQ4 空間次元が収束率に与える影響、特にSobolev埋め込みおよび無限小要因の文脈においては何か？
• RQ5 理論的収束率と数値実験からの実証的結果との間にはどのような相違・一致があるか？

主な発見

• 1次元空間では、提案された完全離散化スキームは、空間方向に $\frac{1}{2}$ 階、時間方向に1階の強収束率を達成する。
• 2次元空間では、Sobolev埋め込み不等式に起因する無限小要因のため収束率が低下し、$\tau^{4 - \frac{4\epsilon}{2 + \epsilon}}$（$\epsilon > 0$ が小さいとき）の収束率が得られる。
• 誤差解析は、全数値近似の事前モーメントバウンドを要求せず、理論的枠組みの強化に寄与する。
• 数値実験により理論的収束率が確認された：1次元および2次元の両方で時間方向収束率は1、1次元では空間方向収束率は $\frac{1}{2}$ である。
• 数値シミュレーションからの平均二乗誤差の対数-対数プロットは、理論的予測とよく一致しており、解析の妥当性が裏付けられる。
• 細かい時間ステップ（$\tau = 2^{-10}$）で計算された基準解により、信頼性の高い誤差推定が可能となり、モンテカルロ誤差は無視できるほど小さいことが判明した。