[論文レビュー] Structural physical approximation of partial transposition makes possible to distinguish SLOCC inequivalent classes of three-qubit system

Anu Kumari, Satyabrata Adhikari|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2022

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ひとこと要約

本稿では、三量子ビットエンタングル状態のSLOCC非同値クラスを検出および分類するため、構造的物理的近似による部分転置（SPA-PT）を用いた物理的に実装可能な手法を提案する。非物理的である部分転置写像を完全正値写像に近似することで、著者らは三量子ビット密度行列に対するSPA-PTの明示的な行列表現を導出し、固有値の閾値と三重ねじれ解析に基づいてGHZ状態とW状態クラスを区別する実験的に実現可能な基準を確立する。

ABSTRACT

Detection and classification of entanglement properties of a multi-qubit system is a topic of great interest. This topic has been studied extensively and thus we found different approaches for the detection and classification of multi-qubit entangled states. We have applied partial transposition operation on one of the qubit of the three-qubit system and then studied the entanglement properties of the three-qubit system, which is under investigation. Since the partial transposition operation is not a quantum operation so we have approximated partial transposition operation in such a way so that it represent a completely positive map. The approximated partial transposition operation is also known as structural physical approximation of partial transposition (SPA-PT). We have studied in detail the application of SPA-PT on a three qubit system and provided explicitly the matrix elements of the density matrix describing SPA-PT of a three qubit system. Moreover, we propose criterion to classify all possible stochastic local operations and classical communication(SLOCC) inequivalent classes of a pure as well as mixed three qubit state through SPA-PT map, which makes our criterion experimentally realizable. We have illustrated our criterion for detection and classification of three-qubit entangled states by considering few examples.

研究の動機と目的

• 三量子ビット系における多粒子エンタングルメントの実験的検出および分類の課題に対処すること。
• 実験で実装できない非完全正値写像である部分転置の制限を克服すること。
• 純粋および混合三量子ビット状態のSLOCC非同値クラスを区別するための物理的に実現可能な基準を、SPA-PTに基づいて開発すること。
• 任意の1量子ビットに対して部分転置を施した三量子ビット密度行列に対するSPA-PTの明示的な行列表現を提供すること。
• 三重ねじれと固有値の閾値を用いた解析的分類により、GHZ状態とW状態クラスを検証すること。

提案手法

• 部分転置（PT）写像に構造的物理的近似（SPA）を適用し、実験的に実装可能な完全正値写像に変換する。
• 任意の1量子ビットに対して転置を施した三量子ビット密度演算子に対するSPA-PT写像の明示的な行列要素を導出する。転置が1量子ビットに施された場合、2×2ブロック行列として表現される。
• SPA-PT変換された密度行列の最小固有値を検出基準として用いる：2/9未満の場合、状態はエンタングルドと判定される（2⊗2系において）。
• 三重ねじれと固有値解析に基づく基準を導入し、パrameter範囲に応じてSLOCC非同値クラス（GHZ対W）に状態を分類する。
• 状態パrameterの変動に伴う最小固有値および三重ねじれの振るまいを解析することで、混合状態に対してもSPA-PT基準を適用する。
• 2⊗2系における簡略化されたSPA-PT基準をベンチマークとして用い、エンタングルメント検出の閾値として2/9を設定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構造的物理的近似による部分転置（SPA-PT）を用いて、三量子ビットエンタングル状態のSLOCC非同値クラスを区別できるか？
• RQ2 任意の個々の量子ビットに対して転置を施した三量子ビット密度行列に対するSPA-PT写像の明示的な行列表現は何か？
• RQ3 SPA-PT変換された状態の最小固有値を用いて、三量子ビット状態をGHZクラスまたはWクラスに分類する方法は何か？
• RQ4 提案されたSPA-PT基準は実験的に実現可能であり、純粋および混合三量子ビット状態に適用可能か？
• RQ5 混合三量子ビット状態において、三重ねじれが非ゼロとなるパrameter範囲は何か？（これはGHZクラスのエンタングルメントを示唆する。）

主な発見

• SPA-PT写像により、非物理的である部分転置が完全正値写像に変換され、エンタングルメント検出の実験的実装が可能になる。
• 2⊗2系において、SPA-PT変換された密度行列の最小固有値が2/9未満である場合、状態はエンタングルドであると判定され、測定可能なエンタングルメント基準が得られる。
• q1とq2 = (1−q1)/nでパラメータ化された混合三量子ビット状態において、三重ねじれがゼロとなることから、0.25 ≤ q1 ≤ 0.629の範囲でWクラスと特定される。
• q1 > 0.6269かつq2 = (1−q1)/nの範囲では三重ねじれが非ゼロとなるため、GHZクラスが検出され、真の三粒子エンタングルメントが示唆される。
• 提案された基準により、実験的に測定可能な量を用いて、三量子ビット状態のすべてのSLOCC非同値クラスを分類可能である。
• 解析的例を用いた検証により、全状態トモグラフィーを必要とせずに、エンタングルメントクラスを区別する有効性が示された。