[論文レビュー] TASI lectures: special holonomy in string theory and M-theory

Steven S. Gubser|ArXiv.org|Jan 16, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 23被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、弦理論およびM理論の compactification の文脈において、特にカーラビ＝ヤウ3-fold および G₂ holonomy 多様体である特殊なホロノミー多様体について、教育的入門を提供する。これらの幾何学的構造が supersymmetry を保存する仕組み、タイプII弦理論におけるミラー対称性の発生、4次元N=1 supersymmetry を持つM理論の compactification にどのように関与するかを説明している。また、D6-brane、ゲージ対称性の強化、交差する brane による chirality fermion の出現についても言及している。

ABSTRACT

A brief, example-oriented introduction is given to special holonomy and its uses in string theory and M-theory. We discuss A_k singularities and their resolution; the construction of a K3 surface by resolving T^4/Z_2; holomorphic cycles, calibrations, and worldsheet instantons; aspects of the low-energy effective action for string compactifications; the significance of the standard embedding of the spin connection in the gauge group for heterotic string compactifications; G_2 holonomy and its relation to N=1 supersymmetric compactifications of M-theory; certain isolated G_2 singularities and their resolution; the Joyce construction of compact manifolds of G_2 holonomy; the relation of D6-branes to M-theory on special holonomy manifolds; gauge symmetry enhancement from light wrapped M2-branes; and chiral fermions from intersecting branes. These notes are based on lectures given at TASI '01.

研究の動機と目的

• 微分幾何学の背景がほとんどない理論物理学者向けに、非技術的で具体例に基づいた特殊ホロノミーの入門を提供すること。
• カーラビ＝ヤウ3-fold および G₂ホロノミー多様体が、弦理論およびM理論の compactification 空間として supersymmetry を保存する仕組みを説明すること。
• ホロモーフィックサイクル、カリブレーション、カリブレートドブレーンといった幾何的構造が、ワールドシートインスタントンやゲージ対称性の強化といった物理現象とどのように関連するかを結びつけること。
• ヘテロティック compactification における標準埋め込みと、コンact G₂多様体を構成するためのジョイス構成の役割を説明すること。
• 特殊ホロノミーの背景におけるM2-braneの巻き付きや交差する brane から生じる chirality fermion と非摂動的効果の出現を探求すること。

提案手法

• A_k特異点とその解消を用いて、特に C²/Γ の軌道空間と T⁴/Z₂ からのK3多様体の構成を通じて、カーラビ＝ヤウ幾何学を導入する。
• ベクトルのループ上での平行移動によるホロノミーの定義を示し、コン回軌（Z_nホロノミー）の例を用いて概念を説明した後、SU(3) および G₂ ホロノミーを導入する。
• カーラビ＝ヤウ3-fold のホロモーフィック3形式とケーラー形式から、R⁶×S¹ 上にG₂構造φ₀を構成し、D6-braneの背景をモデル化するために変形する。
• G₂3形式φを用いてs_μνを定義し、g_μν = (det s_μν)^{-1/9} s_μν という公式を適用して、カリブレーション形式から計量を再構成する。
• Taub-NUT幾何をD6-braneの世界体積の局所的モデルとして用い、HとVが調和関数とゲージポテンシャルを表すようにし、G₂構造の変形を行う。
• D6-braneに近い領域における変形されたG₂構造φの漸近的挙動を解析し、φ₀に近づくことを示し、制御された近似のもとでホロノミーがG₂に保たれることを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 A_k軌道空間とその解消は、どのように特殊ホロノミーを持つカーラビ＝ヤウ多様体を導くか？
• RQ2 SU(3) や G₂ といったホロノミー群が、弦理論およびM理論の compactification において supersymmetry を保存する上で物理的にどのような意味を持つのか？
• RQ3 G₂多様体上のM理論の compactification におけるD6-brane は、カリブレーションサイクルとどのように関係し、ゲージ対称性の出現に寄与するか？
• RQ4 調和関数HとゲージポテンシャルVによるG₂構造の変形は、branes の存在下でもG₂ホロノミーをどのように保つのか？
• RQ5 HとVによるG₂構造φ₀の線形変形は、交差するbranesが存在する場合でも、全多様体上で正確なG₂構造に拡張可能か？

主な発見

• C²/Γ のA_k特異点の解消は、SU(2)ホロノミーを持つカーラビ＝ヤウ2-fold を得る。T⁴/Z₂ の解消はK3多様体をもたらし、これもSU(2)ホロノミーを持つ。
• ホロノミー群は平行移動の対称性を分類する。より小さなホロノミー群は、より多くの supersymmetry を保存する。SU(3) および G₂ は、6次元および7次元のN=1 compactification において中心的役割を果たす。
• スピン接続をゲージ群に標準埋め込むことで、E₈×E₈ゲージ群を持つリアリスト的ヘテロティック compactification が実現される。
• G₂多様体上のM理論の compactification は、閉じた、ココールド3形式φに符号化されたG₂構造を持つ4次元N=1 supersymmetric 理論を生成する。
• M理論におけるD6-braneの世界体積は、漸近的にG₂構造φ₀に近づき、φ₀のHおよびVによる変形はHに関して線形に保たれ、ホロノミーの保存が制御可能であることを示唆する。
• 計量は、s_μνをφおよびエプシロンテンソルから構築し、g_μν = (det s_μν)^{-1/9} s_μν という公式により、G₂3形式φから再構成可能である。