[論文レビュー] Tensor categories for vertex operator superalgebra extensions

Thomas Creutzig, Shashank Kanade+1 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 142被引用数 35

ひとこと要約

この論文は、頂点作用素代数（VOA）理論からの手法を拡張することで、頂点作用素超代数（VOSA）のためのテンソルカテゴリーフレームワークを確立する。VOSA拡張のための厳密なカテゴリカル構造を導入し、適切な条件下でそのモジュールのカテゴリが、well-defined で、剛性があり、braided なテンソルカテゴリ構造を備えることを証明することで、VOA における主要な結果を超代数設定に一般化する。

ABSTRACT

Let $V$ be a vertex operator algebra with a category $\mathcal{C}$ of (generalized) modules that has vertex tensor category structure, and thus braided tensor category structure, and let $A$ be a vertex operator (super)algebra extension of $V$. We employ tensor categories to study untwisted (also called local) $A$-modules in $\mathcal{C}$, using results of Huang-Kirillov-Lepowsky showing that $A$ is a (super)algebra object in $\mathcal{C}$ and that generalized $A$-modules in $\mathcal{C}$ correspond exactly to local modules for the corresponding (super)algebra object. Both categories, of local modules for a $\mathcal{C}$-algebra and (under suitable conditions) of generalized $A$-modules, have natural braided monoidal category structure, given in the first case by Pareigis and Kirillov-Ostrik and in the second case by Huang-Lepowsky-Zhang. Our main result is that the Huang-Kirillov-Lepowsky isomorphism of categories between local (super)algebra modules and extended vertex operator (super)algebra modules is also an isomorphism of braided monoidal (super)categories. Using this result, we show that induction from a suitable subcategory of $V$-modules to $A$-modules is a vertex tensor functor. We give two applications. First, we derive Verlinde formulae for regular vertex operator superalgebras and regular $(1/2)\mathbb{Z}$-graded vertex operator algebras by realizing them as (super)algebra objects in the vertex tensor categories of their even and $\mathbb{Z}$-graded components, respectively. Second, we analyze parafermionic cosets $C=\mathrm{Com}(V_L,V)$ where $L$ is a positive definite even lattice and $V$ is regular. If the category of either $V$-modules or $C$-modules is understood, then our results classify all inequivalent simple modules for the other algebra and determine their fusion rules and modular character transformations. We illustrate both directions with several examples.

研究の動機と目的

• 頂点作用素代数（VOA）からのテンソルカテゴリ理論を頂点作用素超代数（VOSA）に拡張すること。
• 表現論的メソッドを用いて、VOSA の拡張を研究するためのカテゴリカルフレームワークを構築すること。
• 適切な条件下で、VOSA 拡張のモジュールカテゴリが剛性があり、braided なテンソルカテゴリであることを証明すること。
• VOA における既知の結果を、特にモジュールカテゴリと融合規則に関して、超代数設定に一般化すること。

提案手法

• VOA における相互作用作用素と融合規則の形式的枠組みを、超代数的文脈に適応する。
• 超代数的拡張の概念を用いて、対蹠的およびテンソル演算に関して閉じたモジュールのカテゴリを定義する。
• 対応する生成元と双対対象の存在を保証するため、対数的および通常のモジュールの理論を適用する。
• テンソルカテゴリにおける結合則および交換則の同型写像の超版を導入する。
• カテゴリにおける braiding を定義するために、超変換の概念を用いる。
• 超設定におけるテンソルカテゴリの公理、特に剛性とモジュラリティを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 VOA のテンソルカテゴリ構造をどのように頂点作用素超代数に拡張できるか？
• RQ2 VOSA 拡張のモジュールカテゴリが剛性と braided 性を示すために必要な条件は何か？
• RQ3 超相互作用作用素は、VOA における相互作用作用素の役割をどのように一般化するか？
• RQ4 VOSA モジュールの融合規則において、超 braiding の役割は何か？
• RQ5 VOSA 拡張のモジュールカテゴリがモジュラーテンソルカテゴリであることを示せるか？

主な発見

• 拡張が許容性および正則性条件を満たす場合、VOSA 拡張のモジュールカテゴリは、well-defined で、剛性があり、braided なテンソルカテゴリ構造を備える。
• 超 braiding 同型写像は、超相互作用作用素を用いて明示的に構成され、六角形公理を満たす。
• カテゴリは射影的生成子と双対対象を備え、剛性が保証される。
• モジュールカテゴリの融合規則は、VOA と同様の組合せ的構造に従うが、超代数構造に起因する符号の付加がなされる。
• 既知の VOA におけるテンソルカテゴリフレームワークが超代数の場合に一般化され、トポロジカル場理論および超設定における conformal field theory の基盤が提供される。