[論文レビュー] The arithmetic-geometric mean and isogenies for curves of higher genus

Ron Donagi, Ron Livné|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 1997

Algebraic Geometry and Number TheoryMathematics参考文献 3被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、曲線のヤコビアン間の準同型を用いて、ガウスの算術幾何平均の種数3版を構成する。ビゴナルおよびトライゴナル構成を用い、与えられた曲線のヤコビアンに同種である曲線を明示的に構成し、その準同型の核が2階捩れ点のラグランジュ部分群であることを示す。さらに、種数 $ g \geq 4 $ ではこのような構成が失敗することを示し、プリム理論を用いて種数2の場合の一般化を達成する。

ABSTRACT

Computation of Gauss's arithmetic-geometric mean involves iteration of a simple step, whose algebro-geometric interpretation is the construction of an elliptic curve isogenous to a given one, specifically one whose period is double the original period. A higher genus analogue should involve the explicit construction of a curve whose jacobian is isogenous to the jacobian of a given curve. The doubling of the period matrix means that the kernel of the isogeny should be a lagrangian subgroup of the group of points of order 2 in the jacobian. In genus 2 such a construction was given classically by Humbert and was studied more recently by Bost and Mestre. In this article we give such a construction for general curves of genus 3. We also give a similar but simpler construction for hyperelliptic curves of genus 3. We show that the hyperelliptic construction is a degeneration of the general one, and we prove that the kernel of the induced isogeny on jacobians is a lagrangian subgroup of the points of order 2. We show that for g at least 4 no similar construction exists, and we also reinterpret the genus 2 case in our setup. Our construction of these correspondences uses the bigonal and the trigonal constructions, familiar in the theory of Prym varieties.

研究の動機と目的

• ガウスの算術幾何平均の構成を、特に種数3の高種数曲線へ拡張すること。
• 与えられた曲線のヤコビアンに同種である曲線の明示的構成を、2階捩れ点のラグランジュ部分群を核とするもので行うこと。
• 種数 $ g \geq 4 $ では、モジュライ空間およびモノドロミーの議論を用いて、このような構成が不可能であることを示すこと。
• 古典的な種数2のハムバート構成を、ビゴナル構成の特殊例として再解釈すること。
• ハイパーオーバルな種数3の構成が、一般の構成の退化として現れることを示すこと。

提案手法

• プリム多様体理論におけるビゴナルおよびトライゴナル構成を用いて、曲線間の対応を構築する。
• 通常の二重点を持つ特異曲線の2重被覆を構成し、そのプリム多様体が真に偏極されることを保証する。
• ウェイリングペアリングの性質を用いて、ヤコビアン上の準同型の核が2階捩れ点のラグランジュ部分群であることを特定する。
• 周期写像とトライッキーの定理を用いて、曲線のモジュライ空間と真に偏極されたアーベル多様体のモジュライ空間を関連付ける。
• $ \mathrm{Sp}(2g,\mathbb{R}) $ 内のモノドロミーおよび密度の議論を用い、$ g \geq 4 $ の場合に、トライッキーの部分多様体が特定の準同型に関して不変であるとすると、それがモジュライ空間全体に稠密である必要があることを示す。
• 特徴が2または3でない場合の変形型を解析し、特徴0を超える一般化を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 種数3の曲線に対して、2階捩れ点のラグランジュ部分群を核とするヤコビアンの準同型を用いて、ガウスの算術幾何平均の類似物を構成できるか？
• RQ2 種数3の構成は、ビゴナル構成を用いて、古典的な種数2のハムバート構成を一般化するか？
• RQ3 ハイパーオーバルな種数3の構成は、一般の構成の退化として現れる特別なケースか？
• RQ4 2階捩れ点にラグランジュ部分群が存在するにもかかわらず、なぜ種数 $ g \geq 4 $ ではこのような構成が失敗するのか？
• RQ5 高種数において、ラグランジュ部分群によって誘導される準同型がトライッキーの部分多様体を不変に保つことができるか？そして、これはモジュライ空間幾何にどのような意味を持つのか？

主な発見

• トライゴナルおよびビゴナル構成を用いて、与えられた曲線のヤコビアンに同種である種数3の曲線を、2階捩れ点のラグランジュ部分群を核とする明示的構成が与えられる。
• 誘導されるヤコビアン上の準同型の核が、必要なシンプレクティック双対性条件を満たす2階捩れ点のラグランジュ部分群であることが証明される。
• ハイパーオーバルな種数3のケースが、一般の種数3構成の退化として現れ、準同型構造が保存されることを示す。
• 種数2のハムバート構成は、ビゴナル構成の特殊例として再解釈され、その核が2階捩れ点のラグランジュ部分群であることが示される。
• 種数 $ g \geq 4 $ では、このような準同型構成は存在しない。なぜなら、トライッキーの部分多様体が真に偏極されたアーベル多様体のモジュライ空間に稠密でなければならないが、次元的制約に反するからである。
• 準同型とモジュラー群によって生成されるモノドロミー群は $ \mathrm{Sp}(2g,\mathbb{R}) $ で稠密であり、トライッキーの部分多様体がこのような準同型に関して不変であるとすると、それが稠密でなければならない。しかし $ g > 3 $ の場合、これは不可能である。