[論文レビュー] The infinitesimal form of Brunn-Minkowski type inequalities

Andrea Colesanti, Galyna V. Livshyts+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2016

Point processes and geometric inequalities参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、回転不変な対数凸測度の下で球に近い状況における対数ブラニャン＝ミンコフスキー不等式および次元付きブラニャン＝ミンコフスキー不等式の安定性結果を確立し、それらの無限小形を導出する。無条件かつ平面的対称な凸集合に対して強いピカール型不等式を証明し、任意の測度に対するB予想の無限小同等形を提示する。

ABSTRACT

Log-Brunn-Minkowski inequality was conjectured by Bor\oczky, Lutwak, Yang and Zhang \cite{BLYZ}, and it states that a certain strengthening of the classical Brunn-Minkowski inequality is admissible in the case of symmetric convex sets. It was recently shown by Nayar, Zvavitch, the second and the third authors \cite{LMNZ}, that Log-Brunn-Minkowski inequality implies a certain dimensional Brunn-Minkowski inequality for log-concave measures, which in the case of Gaussian measure was conjectured by Gardner and Zvavitch \cite{GZ}. In this note, we obtain stability results for both Log-Brunn-Minkowski and dimensional Brunn-Minkowski inequalities for rotation invariant log-conave measures near a ball. Remarkably, the assumption of symmetry is only necessary for Log-Brunn-Minkowski stability, which emphasizes an important difference between the two conjectured inequalities. Also, we determine the infinitesimal version of the log-Brunn-Minkowski inequality. As a consequence, we obtain a strong Poincar\'{e}-type inequality in the case of unconditional convex sets, as well as for symmetric convex sets on the plane. Additionally, we derive an infinitesimal equivalent version of the B-conjecture for an arbitrary measure.

研究の動機と目的

• 回転不変な対数凸測度の下で球に近い状況における対数ブラニャン＝ミンコフスキー不等式の安定性結果を確立すること。
• 対数ブラニャン＝ミンコフスキー不等式の無限小形を導出し、ピカール型不等式へのその影響を明らかにすること。
• 対数凸測度における対数ブラニャン＝ミンコフスキー不等式と次元付きブラニャン＝ミンコフスキー不等式の関係を調査すること。
• 任意の測度に対するB予想の無限小同等形を提示すること。
• 対数ブラニャン＝ミンコフスキー不等式の安定性における対称性の役割と次元付きバージョンとの対比を明確にすること。

提案手法

• 球に近いユークリッド球の周囲における安定性解析を用いて、対数ブラニャン＝ミンコフスキー不等式の定量的推定を導出する。
• 変分法および無限小摂動を用いて、対数ブラニャン＝ミンコフスキー不等式の無限小形を導出する。
• 回転不変な対数凸測度の構造を活用し、小さな変形における凸集合の挙動を分析する。
• 無限小形を用いて、無条件および平面的対称凸集合に対するピカール型不等式を導出する。
• 径方向摂動の下での測度の2次変動に着目し、B予想の無限小同等形を確立する。
• エタンダールおよび対数凸測度論の既知の結果に依拠し、無限小形とグローバル不等式との関係を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対数ブラニャン＝ミンコフスキー不等式は球に近い状況で小さな摂動に対してどのように振る舞い、どのような安定性推定が得られるか？
• RQ2 対数ブラニャン＝ミンコフスキー不等式の無限小形とは何か、ピカール型不等式とどのように関係するか？
• RQ3 対称性は、対数ブラニャン＝ミンコフスキー不等式の安定性と次元付きブラニャン＝ミンコフスキー不等式の安定性の両者において、どのように異なる影響を及ぼすか？
• RQ4 任意の測度に対してB予想の無限小形を導出し、特徴づけることは可能か？
• RQ5 無限小形は、無条件および平面的対称凸集合に対してどのような意味を持つのか？

主な発見

• 対数ブラニャン＝ミンコフスキー不等式の無限小形が導出され、2次変動を用いた局所的特徴付けが得られた。
• 無条件凸集合および平面内対称凸集合に対して強いピカール型不等式が確立された。
• 球に近い状況における対数ブラニャン＝ミンコフスキー不等式の安定性が証明され、対称性がこの安定性に不可欠であることが示された。
• 対数凸測度における次元付きブラニャン＝ミンコフスキー不等式が、対称性を仮定せずとも小さな摂動に対して安定であることが示された。
• 任意の回転不変な対数凸測度に対して、B予想の無限小同等形が導出された。
• 結果は、2つの不等式における根本的な相違を浮き彫りにした：対数ブラニャン＝ミンコフスキー不等式の安定性には対称性が不可欠であるが、次元付きバージョンではそうではない。