[論文レビュー] The Loschmidt echo in classically chaotic systems: Quantum chaos, irreversibility and decoherence

Fernando Cucchietti|ArXiv.org|Oct 15, 2004

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 94被引用数 7

ひとこと要約

本学位論文は、力学的にカオス的である量子系におけるロシュミットエコー（LE）を調査し、強い摂動下では半古典的近似のもとで、LEが古典的リャプノフ指数によって決定される率で指数関数的に減衰することを示した。量子の不可逆性、量子カオス、デコherenceの間の直接的な関連を確立し、LEの減衰率がデコherence率と等しいことを示したことで、LEが古典的カオスの強固な量子的兆候であることが確認された。

ABSTRACT

The Loschmidt echo (LE) is a measure of the sensitivity of quantum mechanics to perturbations in the evolution operator. It is defined as the overlap of two wave functions evolved from the same initial state but with slightly different Hamiltonians. Thus, it also serves as a quantification of irreversibility in quantum mechanics. In this thesis the LE is studied in systems that have a classical counterpart with dynamical instability, that is, classically chaotic. An analytical treatment that makes use of the semiclassical approximation is presented. It is shown that, under certain regime of the parameters, the LE decays exponentially. Furthermore, for strong enough perturbations, the decay rate is given by the Lyapunov exponent of the classical system. Some particularly interesting examples are given. The analytical results are supported by thorough numerical studies. In addition, some regimes not accessible to the theory are explored, showing that the LE and its Lyapunov regime present the same form of universality ascribed to classical chaos. In a sense, this is evidence that the LE is a robust temporal signature of chaos in the quantum realm. Finally, the relation between the LE and the quantum to classical transition is explored, in particular with the theory of decoherence. Using two different approaches, a semiclassical approximation to Wigner functions and a master equation for the LE, it is shown that the decoherence rate and the decay rate of the LE are equal. The relationship between these quantities results mutually beneficial, in terms of the broader resources of decoherence theory and of the possible experimental realization of the LE.

研究の動機と目的

• 古典的にカオス的ダイナミクスを示す量子系におけるロシュミットエコー（LE）の挙動を理解すること。
• 量子の不可逆性（LEを介して）と古典的ダイナミカル不安定性（リャプノフ指数を介して）との間の理論的関係を確立すること。
• LEをプローブとして用いて、デコherenceの役割が量子から古典への遷移に与える影響を調査すること。
• さまざまなカオス的系において、広範な数値シミュレーションを用いて解析的予測を検証すること。
• 半古典的理論の到達不能な領域である、LEのリャプノフ減衰領域における普遍性を探索すること。

提案手法

• カオス的系におけるロシュミットエコーの解析的表現を導出するために、半古典的近似を用いる。
• Wigner関数形式を用いて、量子時間発展と古典的位相空間ダイナミクスを結びつける。
• マスター方程式の手法を適用し、LEの減衰をモデル化し、デコherenceプロセスと関連付ける。
• ローレンツガス、スタジアムビリヤード、逆向き調和振動子などの系で数値的シミュレーションを実施する。
• 半古典的予測と数値結果を比較し、LEの減衰のリャプノフ領域の妥当性を検証する。
• 質量テンソルの歪みを用いた摂動を適用し、カオス的ダイナミクスを模擬し、LEの感度を調べる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的にカオス的ダイナミクスを示す量子系におけるロシュミットエコーはどのように減衰するか？
• RQ2 ロシュミットエコーの減衰率は、どの程度古典的リャプノフ指数と一致するか？
• RQ3 ロシュミットエコーは、古典的カオスの普遍的な量子的兆候として機能できるか？
• RQ4 ロシュミットエコーの減衰率と量子デコherenceの進行率との間にはどのような関係があるか？
• RQ5 エーレンフェスト時間や熱力学的極限といった量子効果が、LEのリャプノフ領域の普遍性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 半古典的領域において、ロシュミットエコーは指数関数的に減衰し、強い摂動下では減衰率が古典的リャプノフ指数と一致する。
• ローレンツガスおよびスタジアムビリヤードの数値的シミュレーションにより、解析的予測であるリャプノフ減衰が確認され、理論とシミュレーションの間に良好な一致が得られた。
• ロシュミットエコーのリャプノフ領域は、半古典的領域を超えてさまざまなカオス的系にわたって普遍的であることが示された。
• ロシュミットエコーの減衰率はデコherence率と等しく、不可逆性とデコherenceの間の直接的な定量的関連が確立された。
• 半古典的Wigner関数アプローチは、LE時間発展の背後にある古典的位相空間ダイナミクスをうまく再現できた。
• 質量テンソルの歪みは、ビリヤードにおける幾何的摂動と同等の記述を提供し、LE研究におけるこうしたモデルの有効性が裏付けられた。