[論文レビュー] The Modular Form of the Barth-Nieto Quintic

Valery Gritsenko, Klaus Hulek|ArXiv.org|Jun 3, 1998

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、バート・ニエトの5次曲面から生じる、パラモジュラー群 Γ₃(2) の唯一の重み3の尖点形式 Δ₁³ を同定する。この5次曲面は、(1,3)-極性をもつレベル2構造を備えたアーベル曲面のモジュライ空間 𝒜₃(2) に双有理同型なカルラヤ・3次元多様体の2重被覆である。著者らは、特徴を持つ重み1の尖点形式 Δ₁ を構成し、その無限積展開とシーゲル空間における対角線上での1階の零点を証明した。さらに、これにより 𝒜₃(2) の滑らかで射影的なカルラヤモデルを独立に構成した。

ABSTRACT

Barth and Nieto have found a remarkable quintic threefold which parametrizes Heisenberg invariant Kummer surfaces which belong to abelian surfaces with a (1,3)-polarization and a lecel 2 structure. A double cover of this quintic, which is also a Calabi-Yau variety, is birationally equivalent to the moduli space {\cal A}_3(2) of abelian surfaces with a (1,3)-polarization and a level 2 structure. As a consequence the corresponding paramodular group Γ_3(2) has a unique cusp form of weight 3. In this paper we find this cusp form which is Δ_1^3. The form Δ_1 is a remarkable weight 1 cusp form with a character with respect to the paramodular group Γ_3. It has several interesting properties. One is that it admits an infinite product representation, the other is that it vanishes of order 1 along the diagonal in Siegel space. In fact Δ_1 is an element of a short series of modular forms with this last property. Using the fact that Δ_1 is a weight 3 cusp form with respect to the group Γ_3(2) we give an independent construction of a smooth projective Calabi-Yau model of the moduli space {\cal A}_3(2).

研究の動機と目的

• バート・ニエトの5次曲面の幾何から生じる、パラモジュラー群 Γ₃(2) の唯一の重み3尖点形式を同定すること。
• レベル2構造を備えた(1,3)-極性をもつアーベル曲面のモジュライ空間 𝒜₃(2) の滑らかで射影的なカルラヤモデルを構成すること。
• パラモジュラー群 Γ₃ における特徴を持つ重み1尖点形式 Δ₁ 及びその特殊な性質（無限積表現など）を研究すること。
• Δ₁ がシーゲル空間における対角線に沿ってどの程度の零点を持つかを解析し、それらが高重み尖点形式の構成に果たす役割を明らかにすること。
• バート・ニエトの5次曲面の2重被覆とモジュラー空間 𝒜₃(2) の間の双有理同型関係を確立し、幾何学とモジュラー形式を結びつけること。

提案手法

• レベル2構造を備えた(1,3)-極性をもつアーベル曲面におけるヘイゼンベルク不変なクーマー曲面のモジュライ空間としてのバート・ニエトの5次曲面の幾何的構成を利用する。
• バート・ニエトの5次曲面の2重被覆がカルラヤ3次元多様体であり、𝒜₃(2) に双有理同型であることを利用し、幾何からモジュラー形式を構成可能であることを活用する。
• パラモジュラー群 Γ₃ における特徴を持つ重み1尖点形式 Δ₁ を、その変換性とモジュラー不変性を用いて定義する。
• Δ₁ が無限積展開をもつことを証明し、これは自動形式L関数やボルヘルツ型構成と関連する重要な性質である。
• Δ₁ がシーゲル空間における対角線に沿ってちょうど1階の零点を持つことを示し、モジュラー形式の中で稀で顕著な性質である。
• Δ₁³ を Δ₁ の立方と定義し、これが Γ₃(2) に対して唯一の重み3尖点形式であることを示し、これによりカルラヤモデルを定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラモジュラー群 Γ₃(2) の唯一の重み3尖点形式は何か？ また、バート・ニエトの5次曲面の幾何とどのように関係しているか？
• RQ2 重み1尖点形式 Δ₁ のモジュラー性質、特に無限積表現および対角線に沿った零点の階数は何か？
• RQ3 バート・ニエトの5次曲面の2重被覆はモジュライ空間 𝒜₃(2) とどのように関係しており、カルラヤ3次元多様体の構成にどのような含意を持つのか？
• RQ4 Δ₁ を用いて 𝒜₃(2) のカルラヤモデルを独立に構成可能か？ また、Δ₁ はこの構成において果たす役割は何か？
• RQ5 Δ₁ がシーゲル空間における対角線に沿って1階の零点を持つという性質の意義は何か？ また、パラモジュラー群の構造とどのように関係するか？

主な発見

• パラモジュラー群 Γ₃(2) の唯一の重み3尖点形式は、特徴を持つ重み1尖点形式 Δ₁ の立方 Δ₁³ として同定される。
• 形式 Δ₁ は無限積展開をもつ。これはシーゲルモジュラー形式論において稀で顕著な性質である。
• Δ₁ はシーゲル空間における対角線に沿ってちょうど1階の零点を持つ。これはモジュラー形式の中で特徴的な性質であり、そのような形式の短い系列に属する。
• バート・ニエトの5次曲面の2重被覆は、モジュライ空間 𝒜₃(2) に双有理同型である。これにより代数幾何とモジュラー形式の直接的な関係が確立される。
• Δ₁ を構成要素として用い、著者らはモジュライ空間 𝒜₃(2) の独立的で滑らかで射影的なカルラヤモデルを構成した。
• この構成により、Γ₃(2) がスカラー倍を除き唯一の重み3尖点形式をもつことが確認され、この形式の幾何的実現が得られた。