[論文レビュー] The Schur l1 Theorem for filters

Avilés, Antonio, Bernardo Cascales Salinas+2 more|ArXiv.org|Mar 3, 2009

Approximation Theory and Sequence SpacesMathematics参考文献 8被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、古典的なシュール ℓ₁ 定理—ℓ₁ における弱収束とノルム収束の同値性—をフィルターに基づく収束に一般化する。弱 ℱ 収束がノルム収束を含意する（シュール・フィルターと呼ばれる）フィルターを同定し、フィルターの二重シュール性質を導入し、この性質を持つフィルターが WC1 およびシュール・フィルターであることを確立する。主な貢献は、トレースおよび積構成を用いた、このようなフィルターの完全な特徴付けである。

ABSTRACT

We study the classes of filters F on N such that the weak and strong F-convergence of sequences in l1 coincide. We study also an analogue of l1 weak sequential completeness theorem for filter convergence.

研究の動機と目的

• フィルター収束の文脈における ℓ₁ 空間への古典的シュール ℓ₁ 定理の拡張。
• フィルター ℱ がシュール性質（弱 ℱ 収束が ℓ₁ におけるノルム収束を含意する）を満たすための必要十分条件の同定。
• フィルター収束の文脈における弱列完全性（WC1）性質の研究。
• 積フィルター ℱ×ℱ を用いて定義されるフィルターの二重シュール性質の導入および分析。
• 準増加的、減少的、増加的性質を含むフィルタークラスの構造と、それらがシュールおよび WC1 性質とどのように関係するかの調査。

提案手法

• 可算集合 ℕ 上のフィルターを用いて、位相空間における列の ℱ 収束を定義し、通常の収束を一般化する。
• ℱ 立ち止まり集合 I におけるフィルター ℱ のトレースを定義し、ℱ 収束を部分集合に沿った収束と関連付ける。
• N₁×N₂ 上のフィルター ℱ₁×ℱ₂ および N₁∪N₂ 上のフィルター ℱ₁+ℱ₂ を定義し、共同収束行動を分析する。
• 二重シュール性質を導入：フィルター ℱ がこの性質を持つとは、ℱ×ℱ がシュール・フィルターである、すなわち ℓ₁ における弱 ℱ×ℱ 収束がノルム収束を含意することを意味する。
• ℓ₁ における弱収束とノルム収束の双対性および ℓ₁ の完備性を用いて、二重シュール・フィルターが WC1 およびシュール性質を含意することを示す。
• 支配および継承を用いたフィルタークラスの分析：トレースおよび上位フィルターに関しての閉包性を調べるため、準増加的、減少的、増加的性質を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのフィルター ℱ に対して、ℓ₁ における列の弱 ℱ 収束がノルム収束を含意するか？
• RQ2 二重シュール性質とフィルターのシュールまたは WC1 性質との関係は何か？
• RQ3 ℱ 立ち止まり集合 I に対してトレース ℱ(I) をとったとき、フィルター性質はどのように変化するか？
• RQ4 ほぼシュール・フィルターのクラスは明示的に特徴付け可能か？また、すべてのこのようなフィルターのクラスの基底をなすか？
• RQ5 フィルター支配またはトレースによる継承によって、シュールおよび二重シュール性質は保存されるか？

主な発見

• フィルター ℱ がシュール性質を持つための必要十分条件は、任意の I ∈ ℱ* に対して ℱ(I) がほぼシュール・フィルターであることである。
• 二重シュール性質を持つすべてのフィルターは、WC1 フィルターおよびシュール・フィルターである。
• 二重シュール性質は、ℓ₁** の弱位相において (xₙ − xₘ) の ℱ×ℱ 収束が 0 であるならば、ℓ₁ ノルム収束が 0 に一致することを意味する。
• シュール・フィルターのクラスは減少的ではない：ℱ₁ ∈ Schur かつ ℱ₂ ∉ Schur であるが、ℱ₁ が ℱ₂ に支配されるようなフィルターが存在する。
• ほぼシュール・フィルターのクラスは準増加的ではあるが、減少的ではない。このクラスの基底を構成する問題は未解決のままである。
• 二重シュール性質はシュール性質よりも厳密に強い。また、二重シュール・フィルターに支配されるフィルターは、必ず WC1 フィルターである。