[論文レビュー] The Singular Angle of Nonlinear Systems

Chao Chen, Zhao, Di+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2021

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 36被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、安定な非線形システムにおける入出力の新たな測度として「特異的角（singular angle）」を導入する。これはL2空間内における入力信号と出力信号間の最大角偏差（回転効果）を定量化するもので、ループ系の特異的角がπ未満である場合にフィードバック安定性を保証する非線形的小角定理を確立する。これはL2ゲインの角的対応であり、パスファイテイ分析やロバスト制御設計のための新たなツールを提供する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce an angle notion called the singular angle for nonlinear systems from an input-output perspective. The proposed system singular angle, based on the angle between $L_2$-signals, describes an upper bound for the ''rotating effect'' from system input to output signals. It quantifies passivity and serves as a counterpart to system $L_2$-gain. It also provides an alternative to a recently defined notion of system phase which adopts complexification of real-valued signals via the Hilbert transform. A nonlinear small angle theorem is established for feedback stability analysis, which involves a comparison of the loop system angle with $π$. The theorem generalizes the classical passivity theorem via a tradeoff between the singular angles of open-loop systems.

研究の動機と目的

• 非線形およびMIMOシステムにおける位相または角度のコンSENSUS的ないくつかの概念の欠如に対処し、L2ゲインの対応概念としての役割を果たすこと。
• 入出力信号間の回転効果を定量化する新たな入出力測度（特異的角と呼ぶ）を考案すること。
• 既存のパスファイテイインデックスや非線形小ゲイン定理の幾何学的・角的代替を提供すること。
• 周波数ごとの特異的角およびH∞特異的角を用いて、MIMO LTIシステムへの概念の一般化を図り、広範な安定性解析を可能にすること。
• フィードバック安定性を保証する非線形的小角定理を確立し、小ゲイン定理とは異なり角の境界に基づくものとする。

提案手法

• 標準的なヒルベルト空間内積を用いてL2信号間の角度を定義する：θ(f,g) = arccos(⟨f,g⟩ / (||f|| ||g||))。
• 信号レベルの角度をシステムへ拡張するため、すべての非ゼロ入力に対して入力と出力信号間の角度の上限として特異的角を定義する。
• ウィランズの行列特異的角をインスピレーションとして、システム特異的角を入出力信号間の角度の本質的上限として定義する。
• 非線形的小角定理を確立する：ループ系の特異的角がπ未満であれば、フィードバック相互接続は安定である。
• MIMO LTIシステムに対しては、伝達関数行列の行列特異的角を用いて周波数ごとの特異的角およびH∞特異的角を定義する。
• H∞特異的角が特定の条件下でπ/2からπ − arccos(2√(ab)/(a+b))の間で有界であることを証明し、角の和に基づく安定性条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形システムに対して、入力から出力への回転効果を定量化する明確で幾何的な角度概念を構築できるか？
• RQ2 提案された特異的角は、パスファイテイ、L2ゲイン、およびヒルベルト変換による非線形位相といった既存の概念とどのように関係するか？
• RQ3 小ゲイン定理とは類似するが、ゲインの境界ではなく角の境界に基づくフィードバック安定性のための小角定理を確立できるか？
• RQ4 特異的角の概念はMIMO LTIシステムへどのように拡張され、周波数ごとの特性およびH∞特性は何か？
• RQ5 ある状況では特異的角がH∞特異的角よりも厳密に小さい場合があるが、これはシステム解析にどのような意味を持つのか？

主な発見

• パスファイテイシステムの特異的角は最大でπ/2であり、パスファイテイの幾何的特徴付けを提供する。
• 特異的角は既存のパスファイテイインデックスとは異なり、システム行動の代替的角的測度を提供する。
• 非線形的小角定理により、ループ系の特異的角がπ未満であればフィードバック安定性が保証され、パスファイテイ定理を一般化する。
• MIMO LTIシステムにおいて、伝達関数の実部および虚部に特定の条件が満たされると、H∞特異的角θ∞(P) ∈ (π/2, π − arccos(2√(ab)/(a+b)))を満たす。
• θ∞(P) < θ(P)を満たす例を構築し、H∞特異的角がシステム特異的角よりも厳密に小さい場合があることを示した。
• 小角定理は小ゲイン定理およびパスファイテイ定理と補完的であり、ロバスト制御解析のための新たな角的枠組みを提供する。