[論文レビュー] Two robust nonconforming H$^2-$elements for linear strain gradient elasticity

Hongliang Li, Pingbing Ming+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2016

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、摂動パラメータに依存しないエネルギーノルムにおける最適収束を維持することを目的とした、線形ひずみ勾配弾性に対する2つのロバストな非適合H²有限要素を提案する。これらの要素はH¹適合ではあるがH²非適合であり、離散的H²-Kornの不等式を用いて収束性が確立されており、微小パラメータが0に近づく場合でもロバストで最適な収束速度を保証する。

ABSTRACT

We propose two nonconforming finite elements to approximate a boundary value problem arising from strain gradient elasticity, which is a higher-order perturbation of the linearized elastic system. Our elements are H$^2-$nonconforming while H$^1-$conforming. We show both elements converges in the energy norm uniformly with respect to the perturbation parameter.

研究の動機と目的

• 線形ひずみ勾配弾性における小さな摂動パラメータに対してロバストな有限要素法の開発。
• C¹要素に見られる高い自由度を回避するため、H²非適合だがH¹適合な有限要素の構築。
• 非適合近似の安定性と収束性を保証するための離散的H²-Kornの不等式の確立。
• メッシュサイズに依存しない微小パラメータに関して、エネルギーノルムにおける一様収束の確立。
• 均一メッシュおよび非均一メッシュ上での数値実験を通じた理論的結果の検証。

提案手法

• 著者らは、BrennerのH¹-Kornの不等式に類似した、区分的ベクトル場に対する新しい離散的H²-Kornの不等式を導入し、非適合近似の安定性を保証する。
• この離散的不等式に基づいて、局所的自由度を用いて勾配およびひずみの弱い連続性を強制する2つの非適合H²有限要素を構築する。
• これらの要素はH¹適合であるため、変位場の連続性を満たすが、勾配のC¹連続性は満たさないため、適合H²要素に比べ自由度が削減される。
• 収束解析は、離散的H²-Kornの不等式および摂動パラメータに関して一様な強凸性に依存する。
• 非均一メッシュ上で、微小パラメータを変化させた状態で数値実験を実施し、ロバスト性と収束速度を検証する。
• 収束テーブルを用いて、複数のパrameter領域において最適な収束速度が得られることを確認し、手法を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 摂動パラメータが0に近づく場合でも、線形ひずみ勾配弾性に適した非適合有限要素を構築可能か？
• RQ2 非適合H²有限要素の収束を保証するための必要な離散的安定性条件は何か？
• RQ3 提案された要素は、微小パラメータに一様に依存しないエネルギーノルムにおける最適収束速度を達成するか？
• RQ4 非均一メッシュ上および異なるパラメータ値の下で収束速度はどのように振る舞うか？
• RQ5 離散的H²-Kornの不等式は、この高次問題における非適合近似のための一様収束を保証するために十分か？

主な発見

• 提案された非適合H²有限要素は、摂動パラメータに一様に依存するエネルギーノルムにおいて最適収束速度で収束する。
• 数値実験により、メッシュを細分化するにつれて両要素の収束速度が1.98～1.99に近づくことが確認され、エネルギーノルムにおける2次収束が示された。
• 最初の要素に関しては、全テストパラメータ値（1e-5～1e0）において約1.96～1.99の収束速度が観察され、一様なロバスト性が確認された。
• 2番目の要素に対しても、同様の条件下で1.96～1.99の収束速度が達成され、パrameter範囲全域で一様収束が示された。
• 離散的H²-Kornの不等式は成功裏に確立され、一様収束性および安定性の証明の基盤をなした。
• 非均一メッシュ上でも最適な収束が維持されることから、実用的なアダプティブな設定においてもロバストであることが確認された。