[論文レビュー] Universal Meshes: A new paradigm for computing with nonconforming triangulations

Ramsharan Rangarajan, Adrián J. Lew|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2012

Lattice Boltzmann Simulation StudiesEngineering参考文献 25被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、固定されたバックグラウンドメッシュを用いて、時間変化する曲がった領域における高次有限要素計算のための新規フレームワークであるユニバーサルメッシュを提案する。バックグラウンドメッシュの三角形を境界の最近接点射影および頂点の緩和を用いて曲がった要素に写像することで、再メッシュ化を必要とせず、適合的で高次の離散化を実現し、最適な収束率を達成するとともに、移動境界問題の効率的なシミュレーションを可能にする。

ABSTRACT

We describe a method for discretizing planar C2-regular domains immersed in non-conforming triangulations. The method consists in constructing mappings from triangles in a background mesh to curvilinear ones that conform exactly to the immersed domain. Constructing such a map relies on a novel way of parameterizing the immersed boundary over a collection of nearby edges with its closest point projection. By interpolating the mappings to curvilinear triangles at select points, we recover isoparametric mappings for the immersed domain defined over the background mesh. Indeed, interpolating the constructed mappings just at the vertices of the background mesh yields a fast meshing algorithm that involves only perturbing a few vertices near the boundary. For the discretization of a curved domain to be robust, we have to impose restrictions on the background mesh. Conversely, these restrictions define a family of domains that can be discretized with a given background mesh. We then say that the background mesh is a universal mesh for such a family of domains. The notion of universal meshes is particularly useful in free/moving boundary problems because the same background mesh can serve as the universal mesh for the evolving domain for time intervals that are independent of the time step. Hence it facilitates a framework for finite element calculations over evolving domains while using a fixed background mesh. Furthermore, since the evolving geometry can be approximated with any desired order, numerical solutions can be computed with high-order accuracy. We demonstrate these ideas with various numerical examples.

研究の動機と目的

• 非適合な三角形分割において、平面的でC²-正則な領域のための堅牢で高次の離散化手法を開発すること。
• 時間依存または時間変化する領域問題において、再メッシュ化の必要を排除するため、1つのバックグラウンドメッシュをユニバーサルメッシュとして用いること。
• 埋め込まれた領域上に正確に適合する曲がった要素を構築することで、有限要素解における最適な収束率を達成すること。
• 曲がった境界の正確な近似により、境界表現に敏感な問題（例：板の曲げ）において高次の精度を実現すること。
• バックグラウンドメッシュの摂動のみを用いて、等パラメトリック写像および高次曲がった有限要素を体系的に構築するフレームワークを提供すること。

提案手法

• 境界辺の最近接点射影を用いて、バックグラウンドメッシュの三角形を、埋め込まれた領域に正確に適合する曲がった要素に写像する写像を構築する。
• 領域内に少なくとも1つの頂点を含む三角形を特定し、両端点が領域外にある辺を最近接点射影により境界に写像する。
• 領域内および境界付近の頂点を境界から離れるように緩和することで、要素の品質を向上させ、退化した三角形の発生を防ぐ。
• 指定された点（例：頂点）において構築された曲がった写像を補間することで、バックグラウンドメッシュ上での等パラメトリック写像を回復する。
• 境界の近傍の狭い領域で頂点を緩和するための局所的摂動写像 𝔪ₕ を用いる。摂動半径 r はメッシュサイズの数倍に設定する。
• ホメオモーフィズムの存在および正しく定義された射影を保証するため、バックグラウンドメッシュが幾何的条件（例：鋭い条件角、十分な解像度）を満たしていることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定されたバックグラウンドメッシュを用いて、再メッシュ化を伴わずに、時間変化する曲がった領域の高次で適合的な離散化を生成できるか？
• RQ2 非適合な三角形分割上に、最適な収束率を達成するための曲がった有限要素をどのように構築できるか？
• RQ3 バックグラウンドメッシュが、埋め込まれた領域のクラスのユニバーサルメッシュとして機能するためには、どのような幾何的およびメッシュ生成条件を満たすべきか？
• RQ4 埋め込まれた有限要素法における境界表現の忠実度が、高次解の精度にどのように影響するか？
• RQ5 境界付近での頂点緩和は、幾何的適合性を保持しつつ、要素品質の劣化を防げるか？

主な発見

• 本手法は、非適合なバックグラウンドメッシュ上での頂点および辺の摂動のみを用いて、埋め込まれた領域上に正確に適合する曲がった有限要素を構築し、最適な収束率を達成する。
• メッシュ頂点における曲がった写像の補間により、同じバックグラウンドメッシュ上で高次有限要素法をサポートする等パラメトリック写像が回復される。
• 同じバックグラウンドメッシュは、時間ステップに依存しない時間間隔において、時間変化する領域のユニバーサルメッシュとして機能でき、再メッシュ化の必要がなくなる。
• 境界から離れるように頂点を緩和することで、特に境界に近い頂点がある場合に、形状が悪いまたは退化した要素の発生が防止される。
• 固定されたメッシュトポロジにより、スパース行列構造および接続性パターンが維持され、計算効率が顕著に向上する。
• 境界の正確な表現が解の品質に大きく影響する問題（例：単純支持円形板の曲げ）において、本手法は特に効果的である。