[論文レビュー] Universal Quantum Speedup for Branch-and-Bound, Branch-and-Cut, and Tree-Search Algorithms

Shouvanik Chakrabarti, Pierre Minssen+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、分枝限定法、分枝カット法、ヒューリスティックな木探索アルゴリズムに対する普遍的な量子高速化を実現する、増分的量子分枝限定法（I-QBB）アルゴリズムを提案する。量子アモニチュード拡大と適応的探索戦略を活用することで、古典的アルゴリズムと比較してほぼ2乗の高速化を達成し、古典的複雑度が $Q$ で解の深さが $d$ の場合、$Q \gg d$ の実用的状況（例えば、シェリングトン＝キルカレー・モデル、最大独立集合、ポートフォリオ最適化など）において、$\tilde{O}(\mathrm{poly}(d) \times \mathrm{polylog}(Q) \times \mathrm{poly}(d))$ の複雑度を保証する。

ABSTRACT

Mixed Integer Programs (MIPs) model many optimization problems of interest in Computer Science, Operations Research, and Financial Engineering. Solving MIPs is NP-Hard in general, but several solvers have found success in obtaining near-optimal solutions for problems of intermediate size. Branch-and-Cut algorithms, which combine Branch-and-Bound logic with cutting-plane routines, are at the core of modern MIP solvers. Montanaro proposed a quantum algorithm with a near-quadratic speedup compared to classical Branch-and-Bound algorithms in the worst case, when every optimal solution is desired. In practice, however, a near-optimal solution is satisfactory, and by leveraging tree-search heuristics to search only a portion of the solution tree, classical algorithms can perform much better than the worst-case guarantee. In this paper, we propose a quantum algorithm, Incremental-Quantum-Branch-and-Bound, with universal near-quadratic speedup over classical Branch-and-Bound algorithms for every input, i.e., if classical Branch-and-Bound has complexity $Q$ on an instance that leads to solution depth $d$, Incremental-Quantum-Branch-and-Bound offers the same guarantees with a complexity of $ ilde{O}(\sqrt{Q}d)$. Our results are valid for a wide variety of search heuristics, including depth-based, cost-based, and $A^{\ast}$ heuristics. Universal speedups are also obtained for Branch-and-Cut as well as heuristic tree search. Our algorithms are directly comparable to commercial MIP solvers, and guarantee near quadratic speedup whenever $Q \gg d$. We use numerical simulation to verify that $Q \gg d$ for typical instances of the Sherrington-Kirkpatrick model, Maximum Independent Set, and Portfolio Optimization; as well as to extrapolate the dependence of $Q$ on input size parameters. This allows us to project the typical performance of our quantum algorithms for these important problems.

研究の動機と目的

• 混合整数計画問題（MIP）の分野において、古典的ソルバーが早期終了やヒューリスティクスを用いる場合に生じる、理論的量子高速化と実用的性能のギャップを解消すること。
• ヒューリスティクスや問題インスタンスに依存せず、すべての入力に対して古典的分枝限定法に対して普遍的な高速化を達成する量子アルゴリズムの開発。
• 最悪ケースにとどまらず、古典的ソルバーがしばしば近似的最適解を早期に得る現実世界の性能にまで、証明可能な量子優位性を拡張すること。
• 代表的なMIP問題（シェリングトン＝キルカレー自乗スピンガラスモデル、最大独立集合、整数制約付き平均分散ポートフォリオ最適化）において、量子高速化の実証的検証を実施すること。

提案手法

• 古典的木探索ヒューリスティクスと組み合わせた量子アモニチュード拡大を活用し、解木の探索を加速する増分的量子分枝限定法（I-QBB）アルゴリズムを提案。
• 解木全体に対して適応的量子探索を実施し、古典的ヒューリスティクス（例：深さ、コスト、A*）に基づいて探索空間を刈り込む。その後、残存ノードに対して量子アモニチュード拡大を適用。
• アモニチュード拡大の修正版を用いて、$Q \gg d$ の仮定の下で複雑度 $\tilde{O}(\sqrt{Q}d)$ を達成。ここで $Q$ は古典的複雑度、$d$ は解の深さを表す。
• 分枝カット法への応用を拡張し、量子探索とカットプレーンルーチンを統合。最適性ギャップの境界を維持する。
• 数値シミュレーションを用いて、3つの問題群について問題サイズ $n$ の関数として $Q$ を推定。指数的成長率が $O(2^{\alpha n})$ に適合することを確認。
• GurobiとCPLEXの中央値および平均ノード数を用いた回帰分析により、問題インスタンス全体における量子性能スケーリングを予測。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子アルゴリズムは、最悪ケースにとどまらず、すべての入力に対して古典的分枝限定法に対して普遍的なほぼ2乗の高速化を達成できるか？
• RQ2 古典的ソルバーがヒューリスティクスと早期終了を用いる場合でも、その高速化は成立するか？（これは、実際の実行時間が最悪ケースの境界を下回るため。）
• RQ3 実用的MIP問題（シェリングトン＝キルカレー・モデル、最大独立集合、ポートフォリオ最適化）において、古典的複雑度 $Q$ と解の深さ $d$ の間の実証的スケーリング関係は？
• RQ4 カットプレーンと動的刈り込みを統合した状況でも、分枝カット法や一般化されたヒューリスティック木探索に適用した場合に、量子アルゴリズムが証明可能な高速化を維持できるか？

主な発見

• シェリングトン＝キルカレー・モデルでは、Gurobiでは $O(2^{0.494n})$、CPLEXでは $O(2^{0.513n})$ と古典的ノード探索複雑度が増加し、$r^2 > 0.996$ であり、$Q \gg d$ であることが示された。
• 最大独立集合では、CPLEXでは $O(2^{0.0339n})$、Gurobiでは $O(2^{0.0373n})$ と古典的複雑度が増加し、$r^2 > 0.989$ であり、$Q \gg d$ であることが確認された。
• 平均分散ポートフォリオ最適化では、Gurobiでは $O(2^{0.195n})$、CPLEXでは $O(2^{0.140n})$ と古典的複雑度が増加し、$r^2 > 0.898$ であり、再び $Q \gg d$ であることが示された。
• I-QBBアルゴリズムは、$\tilde{O}(\sqrt{Q}d)$ の複雑度を保証し、$Q \gg d$ の条件下で古典的 $Q$ に対してほぼ2乗の高速化を達成する。この性質は、3つの問題群すべてに共通する。
• 数値シミュレーションにより、量子高速化が理論的に証明可能であるだけでなく、現実のMIPインスタンスにおいても実証的意味を持つことが確認された。