[論文レビュー] Unnormalize conical Kähler-Ricci flow

Liangming Shen|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 25被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、単純な正則交差除部分集合を持つ射影多様体上での非正規化された錐型ケーラー・リッチ流れの最大存在時間について確立し、Tian-ZhangおよびSong-Tianの結果を錐型設定に一般化する。流れは、コhomology類が正のままである時間 $ T_0 $ まで存在し、歪みた canonical バンドル $ K_M + \big(1 - \beta\big)\big[D\big] $ が大きいまたは大きいかつネフである場合には、錐型ケーラー・アインシュタインカレントへの収束を示す。

ABSTRACT

We generalize the maximal time existence of Kähler-Ricci flow in Tian-Zhang and Song-Tian to conical case. Furthermore, if the twisted canonical bundle $K_{M}+(1-β)[D]$ is big or big and nef, we can expect more on the limit behaviors of such conical Kähler-Ricci flow. Moreover, the results still hold for simple normal crossing divisor.

研究の動機と目的

• ケーラー・リッチ流れの最大存在時間結果を錐型の場合に拡張し、Tian-ZhangおよびSong-Tianの研究を一般化すること。
• 歪みた canonical バンドル $ K_M + \big(1 - \beta\big)\big[D\big] $ が大きいまたは大きいかつネフである場合に、非正規化された錐型ケーラー・リッチ流れの長時間挙動を分析すること。
• 単純な正則交差除部分集合を持つ多様体上での非正規化された錐型ケーラー・リッチ流れの解の存在と正則性を確立すること。
• 与えられた幾何的仮定の下で、極限の錐型ケーラー・アインシュタインカレントの一意性を証明すること。
• 滑らかな近似技術とコhomological解析を用いて、ケーラー・リッチ流れの解析的枠組みを錐型計量に拡張すること。

提案手法

• Tian-Zhangのコhomologicalアプローチを錐型設定に適応し、$ T_0 $ を、コhomology類 $ [\omega_0] - t(c_1(M) - \sum(1 - \beta_i)[D_i]) $ が正である時間の上界として定義する。
• Campana-Guenacia-Pâunの構成に基づく、Liu-Zhangの滑らかな近似法を用いて、初期の錐型計量を滑らかなもので近似する。
• ラプラシアンおよび $ C^{2,\alpha} $-推定を用いて、近似解の正則性を制御し、錐特異性を持つ解への収束を証明する。
• 最大原理およびポテンシャル差の $ L^2 $-推定を用いて、極限カレントの一意性を証明する。
• Kählerポテンシャル $ \varphi $ の観点から流れを分析し、方程式 $ \frac{\partial}{\partial t}(\varphi + k\chi) = \log \frac{(\omega_t + \sqrt{-1}\partial\bar{\partial}(\varphi + k\chi))^n (||S||^2 + \epsilon^2)^{1 - \beta}}{\Omega} - (\varphi + k\chi) $ を用いる。
• 極限 $ \epsilon \to 0 $ をとることで、錐型の極限カレントを回復し、体積形式および初期計量の選択に依存しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純な正則交差除部分集合を持つ射影多様体上での非正規化された錐型ケーラー・リッチ流れの最大存在時間は何か？
• RQ2 流れの極限挙動は、歪みた canonical バンドル $ K_M + \sum(1 - \beta_i)[D_i] $ の幾何にどのように依存するか？
• RQ3 歪みた canonical バンドル $ K_M + \sum(1 - \beta_i)[D_i] $ が大きいまたは大きいかつネフである場合、非正規化された錐型ケーラー・リッチ流れは錐型ケーラー・アインシュタインカレントに収束するか？
• RQ4 極限の錐型ケーラー・アインシュタインカレントは、初期錐型計量の選択に依存するか？
• RQ5 非特異的除部分集合に対して用いられた技術は、単純な正則交差除部分集合の状況に一般化可能か？

主な発見

• 非正規化された錐型ケーラー・リッチ流れは、最大時間区間 $[0, T_0)$ において一意に存在する。ここで $ T_0 = \sup\{t \mid [\omega_0] - t(c_1(M) - \sum(1 - \beta_i)[D_i]) > 0\} $ である。
• 解は除部分集合 $ D_i $ の外では滑らかであり、それらの上では錐的意味で $ C^{2,\alpha} $-正則性を有する。
• 歪みた canonical バンドル $ K_M + \sum(1 - \beta_i)[D_i] $ が大きい場合、流れは、錐型ケーラー・アインシュタインカレントである極限Kählerカレントに収束する。
• 歪みた canonical バンドルが大きいかつネフである場合、極限カレントは同じ曲率条件を満たす錐型ケーラー・アインシュタインカレントである。
• 極限の錐型ケーラー・アインシュタインカレントは一意的であり、初期錐型計量および体積形式の選択に依存しない。
• 滑らかな近似と近似過程における曲率下界の保持を組み合わせることで、単純な正則交差除部分集合の状況への結果の拡張が可能である。