[論文レビュー] Whittaker functions on ${ m GL}_n$ via theta lifting

Shih-Yu Chen, Yao Cheng|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2026

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ひとこと要約

この論文は、双対対 (GL_n, GL_{n+1}) に対する明示的な theta 環流を通じて、明示的 Whittaker 関数公式の第三のアプローチを構築し、GL_n(C) の新しい Archimedean 公式を導出し、Asai ローカルゼータ積分を計算する。

ABSTRACT

In the literature, two main approaches have been used to establish explicit formulas or propagation formulas for Whittaker functions over Archimedean local fields: one based on Jacquet integrals, and the other on the analysis of systems of partial differential equations. In this paper, we introduce a third approach via explicit theta correspondence. As an example, we derive new cases of explicit formulas for Whittaker functions on ${ m GL}_n(\mathbb{C})$ and compute the associated Asai local zeta integrals.

研究の動機と目的

• 自動双対と L-function の文脈における明示的 Whittaker 式の必要性を動機づける。
• Archimedean 環境における GL_n のための theta-対応に基づく伝播フレームワークを導入する。
• GL_n(C) の Whittaker 関数の明示的公式を導出し、それを Asai zeta 積分と関連づける。
• これらの公式が Archimedean フィールド全体で既存の結果を統一・拡張する方法を示す。

提案手法

• reductive dual pair (GL_n, GL_{n+1}) と Weil 表現を設定する。
• theta のリフトを、W_π を W_Π に結ぶ explícit な传播公式として記述する。
• theta-lift 移動積分（T^+_n, N_{n+1}, そしてペアリングを含む）を介して最小 K 型 Whittaker 関数 W_Π を W_π 経由で関連付ける公式を得る。
• theta-lift フレームワークを既知の公式（Shintani、Ishii–Stade など）と特別な場合として結びつける。
• 新しい明示的公式を GL_n(C の Asai ローカル zeta 積分の計算に適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 theta(π^∨) の Whittaker 関数を W_π に関して明示的な theta liftings で記述できるか。
• RQ2 Archimedean 設定における theta 対応から最小 K-type Whittaker 関数の传播公式は自然に生じるか。
• RQ3 新しい GL_n(C) の Whittaker 公式は既存の Archimedean および非 Archimedean の結果とどのように関連するか。
• RQ4 これらの公式が Asai ローカル zeta 積分の計算に及ぼす影響は。
• RQ5 この theta-lifting 的視点は古典的公式を特別な場合として回収できるか。

主な発見

• explícit な組み込み構成により, Π = π × 1 のとき S ⊗ W(pi, ψ_n) から非零写像を W(Π, ψ_{n+1}) へ誘導できる。
• 传播公式は最小 K_{n+1}-type の Whittaker 関数 W_Π を W_π から、T^+_n と N_{n+1}(F) 上の二重積分を介して表現する。
• このアプローチは、球対称 Whittaker 関数の既知公式を、アーキメデアン・非アーキメデアンの両方の場で theta-传播の事例として統一・再現する。
• 传播フレームワークから新しい明示的 GL_n(C) Whittaker 公式を導出し、それを Asai ローカル zeta 積分に結びつける。
• これらの新しい明示的 Archimedean Whittaker 公式を用いて Asai ローカル zeta 積分を計算する。