[논문 리뷰] Alignment between Initial State and Mixer Improves QAOA Performance for Constrained Optimization

Zichang He, Ruslan Shaydulin외 5명|arXiv (Cornell University)|2023. 05. 05.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 제약 조건이 있는 최적화 문제, 특히 포트폴리오 최적화에서 양자 근사 최적화 알고리즘(QAOA)의 초기 상태를 믹서 해밀토니안의 기본 상태와 일치시키면 성능 향상이 뚜렷하게 이루어진다는 것을 보여준다. xy-믹서와 수치 시뮬레이션 및 트랩된 이온 실험을 통해 저항성 깊이에서도 근사 비율 향상이 이루어지고, 트로터화된 믹서에서 유도된 효과적 기본 상태가 정확한 기본 상태로 신속히 수렴함을 입증한다.

ABSTRACT

Quantum alternating operator ansatz (QAOA) has a strong connection to the adiabatic algorithm, which it can approximate with sufficient depth. However, it is unclear to what extent the lessons from the adiabatic regime apply to QAOA as executed in practice with small to moderate depth. In this paper, we demonstrate that the intuition from the adiabatic algorithm applies to the task of choosing the QAOA initial state. Specifically, we observe that the best performance is obtained when the initial state of QAOA is set to be the ground state of the mixing Hamiltonian, as required by the adiabatic algorithm. We provide numerical evidence using the examples of constrained portfolio optimization problems with both low ($p\leq 3$) and high ($p = 100$) QAOA depth. Additionally, we successfully apply QAOA with XY mixer to portfolio optimization on a trapped-ion quantum processor using 32 qubits and discuss our findings in near-term experiments.

연구 동기 및 목표

• 근접한 양자 장치에서 낮은 깊이로 구현할 때, 특히 믹서 해밀토니안의 초기 상태와의 일치 원칙을 적용한 애디아바틱 양자 알고리즘의 원리가 QAOA 성능 향상에 기여하는지 조사하기 위해.
• 특히 하밍 무게 제약 조건이 있는 포트폴리오 최적화 문제에서, 초기-믹서 일치가 QAOA 성능에 미치는 영향을 평가하기 위해.
• 실제 양자 하드웨어, 특히 트랩된 이온 프로세서에서 xy-믹서를 활용한 QAOA의 구현 가능성과 효율성을 탐색하기 위해.
• 트로터화된 믹서에서 유도된 효과적 기본 상태가 정확한 기본 상태로 수렴하는 정도를 정량화하고, 실용적인 QAOA 환경에서의 위상도를 평가하기 위해.

제안 방법

• 하밍 무게를 유지하는 xy-믹서를 사용한 로컬 해밀토니안 기반 QAOA(LH-QAOA)를 적용하였으며, 레이어-xy, 완전-xy, 임의의 연결성 변형을 포함하였다.
• 비가환 항이 존재함에도 불구하고 잘 정의된 기본 상태를 회복하기 위해, 트로터화된 믹서의 경우 효과적 해밀토니안을 $ \mathbf{H}_{\text{eff}}(\beta) = i\log(\mathbf{U}(\beta)) $ 로 정의하였다.
• 효과적 기본 상태와 믹서 해밀토니안의 정확한 기본 상태 사이의 기본 상태 위상도(GS fidelity)를 계산하여 일치 정도를 정량화하였다.
• 낮은 깊이($ p \leq 3 $)와 높은 깊이($ p = 100 $)의 제약 조건이 있는 포트폴리오 최적화 문제에 대해 수치 시뮬레이션을 수행하여, 일치된 대비 일치하지 않은 초기-믹서 쌍 간의 성능을 비교하였다.
• 32 큐비트 트랩된 이온 양자 프로세서(Quantinuum H2-1)에서 실험적 검증을 수행하였으며, $ \beta = 0.5 $ 로 설정하고 트로터 수를 다양하게 조정하였다.
• QAOA 성능 평가의 주요 지표로 근사 비율을 사용하였으며, 문제 인스턴스 전반에 걸쳐 일치된 대비 일치하지 않은 설정 간의 성능을 비교하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 QAOA의 초기 상태를 믹서 해밀토니안의 기본 상태와 일치시키면 제약 조건이 있는 최적화 문제에서 성능 향상이 이루어지는가?
• RQ2 낮은 깊이와 높은 깊이의 회로에서, 초기-믹서 쌍이 일치된 경우와 일치하지 않은 경우의 QAOA 성능는 어떻게 비교되는가?
• RQ3 트로터화된 믹서의 효과적 기본 상태가 전체 믹서 해밀토니안의 정확한 기본 상태로 수렴하는 정도는 어느 정도인가?
• RQ4 xy-믹서와 초기-믹서 일치를 적용한 QAOA는 근접한 트랩된 이온 양자 하드웨어에서 성공적으로 구현되고 검증될 수 있는가?
• RQ5 하밍 무게 제약 조건 하에서 포트폴리오 최적화에서 믹서와 초기 상태의 선택이 근사 비율에 미치는 영향은 어떠한가?

주요 결과

• 초기-믹서 일치—즉, 초기 상태가 믹서 해밀토니안의 기본 상태와 일치하는 경우—는 제약 조건이 있는 포트폴리오 최적화 문제에서 QAOA 성능을 크게 향상시킨다.
• 낮은 깊이($ p \leq 3 $)와 높은 깊이($ p = 100 $)의 시뮬레이션 전반에서 일치된 설정에서 근사 비율이 일관되게 높게 나타났다.
• 트로터 오차가 존재하더라도, 트로터화된 믹서의 효과적 기본 상태는 정확한 기본 상태로 신속히 수렴하였으며, 작은 트로터 수에서 높은 기본 상태 위상도를 확보하였다.
• 기본 상태 위상도는 트로터 오차보다 빠르게 수렴하였으며, 이는 효과적 기본 상태가 실질적으로 안정적이고 신뢰할 수 있는 일치 지표임을 시사한다.
• 32 큐비트 트랩된 이온 프로세서에서 xy-믹서와 일치된 초기 상태를 갖는 QAOA가 성공적으로 실행되어, 근접한 실험 환경에서의 구현 가능성을 입증하였다.
• 수치적 결과는 믹서가 트로터화되어 구현되더라도 일치로 인한 성능 향상이 유지됨을 보여주며, NISQ 장치에 대한 실용적 관련성을 뒷받침한다.