[논문 리뷰] Charge pump phase-locked loop with phase-frequency detector: closed form mathematical model

Н. В. Кузнецов, M. V. Yuldashev외 5명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 05.

Advancements in PLL and VCO Technologies참고 문헌 28인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 선형 모델 및 근사 비선형 모델의 한계를 극복하기 위해, 위상-주파수 검출기(PFD)를 갖춘 2차 전하 펌프 비례-적분형 폴락드 로프(CP-PLL)에 대한 엄밀한 폐쇄형 수학적 모델을 제시한다. 이 모델을 통해 수치 근사나 반복적 방법 없이 비국소적 행동과 일시적 동역학, 특히 잠금 시간 추정과 같은 분석이 정확하게 가능해진다.

ABSTRACT

Charge pump phase-locked loop with phase-frequency detector (CP-PLL) is an electrical circuit, widely used in digital systems for frequency synthesis and synchronization of the clock signals. In this paper a non-linear second-order model of CP-PLL is rigorously derived. The obtained model obviates the shortcomings of previously known second-order models of CP-PLL. Pull-in time is estimated for the obtained second-order CP-PLL.

연구 동기 및 목표

• 기존 모델의 단점을 보완하는 비선형 2차 CP-PLL(PFD 포함) 수학적 모델을 개발하는 것.
• 특히 잠금 상태 외부에서의 비국소적 행동과 일시적 과정을 정확하게 분석할 수 있도록 하는 것.
• 수치 근사나 반복적 방법 없이 CP-PLL 동역학에 대한 폐쇄형 해를 제공하는 것.
• 유도된 해석 모델을 사용하여 CP-PLL 시스템의 잠금 시간을 추정하는 것.
• 이전에 보고되지 않은 문제, 예를 들어 Van Paemel의 모델에서 관찰된 바와 같이, 잠금 해제 상태에서의 행동에 대한 문제를 다루는 것.

제안 방법

• 신호 공간에서 조각별로 일정한 PFD 출력과 연속 시간 적분을 사용하여 CP-PLL의 비선형 2차 모델을 유도한다.
• 기준 신호와 VCO 신호의 후행 에지 타이밍을 기반으로 오른쪽 연속성 있는 조각별 일정 신호로 PFD 출력을 모델링한다.
• 저항 R과 커패시턴스 C를 갖는 비례-적분(PI) 필터를 사용하여 PFD 전류의 적분을 통해 필터 전압 vF(t)를 계산한다.
• VCO 주파수를 VCO 이득 Kvco와 자유 주행 주파수 ωvco_free를 통해 필터 전압과 연결한다.
• 각 후행 에지에서 단계 연속성을 유지하고 시스템의 하이브리드 동역학을 모델링하기 위해 단계 재설정 메커니즘을 적용한다.
• 유도된 미분 방정식 시스템을 폐쇄형 해석적으로 해결하여 수치적 또는 근사 방법을 회피한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비국소적 동역학을 포괄하는 2차 CP-PLL(PFD 포함)에 대해 폐쇄형 해석 모델을 유도할 수 있는가?
• RQ2 기존 선형 모델 및 근사 비선형 모델은 어떤 한계를 지니며, 특히 일시적 및 잠금 해제 상태에서 CP-PLL 행동을 시뮬레이션할 때 어떤 문제가 있는가?
• RQ3 제안된 모델은 기존 시뮬레이션 기법에 비해 정확도와 계산 효율성에서 어떻게 향상되는가?
• RQ4 유도된 모델 하에서 CP-PLL 시스템의 해석적 잠금 시간은 무엇인가?
• RQ5 왜 일부 모델, 예를 들어 Van Paemel의 모델은 널리 사용되지만, 잠금 해제 시나리오에서는 잘못된 결과를 도출하는가?

주요 결과

• 제안된 모델은 2차 CP-PLL 동역학에 대한 폐쇄형 해를 제공하여 수치 근사 없이 정확한 해석적 계산이 가능하다.
• 이 모델은 선형 모델이 표현할 수 없는 비국소적 행동과 일시적 과정, 특히 잠금 동역학을 정확히 포괄한다.
• 유도된 모델을 사용하여 잠금 시간이 해석적으로 추정되며, 잠금 속도의 정밀한 측정이 가능하다.
• 이 모델은 기존 모델에서 발견되지 않았던, 특히 일시적 응답에서의 불안정성과 정확도 결함을 드러내며, Van Paemel의 모델에서 잠금 해제 조건에서의 문제를 규명한다.
• 반복적 또는 수치 적분 단계를 피하기 때문에, 시뮬레이션 도구인 MATLAB Simulink에 비해 계산 효율성이 뛰어나다.
• 특히 단계 점프 및 PFD 상태 전환 처리에서의 오류를 식별하고 수정함으로써 모델의 타당성이 검증되었다.