[논문 리뷰] Control of the Grushin equation: non-rectangular control region and minimal time

Michel Duprez, Armand Koenig|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 03.

Stability and Controllability of Differential EquationsEngineering참고 문헌 24인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 허위 제어 방법과 복소다항식 $L^2$ 추정을 사용하여 비직사각형 제어 영역을 가진 그루시ン 방정식의 영 제어 가능성에 필요한 최소 시간을 규명한다. 제어 영역이 하부 경계에서 상부 경계로 이르는 경로의 $\varepsilon$-근접 영역을 포함하면, 모든 $T > a^2/2$ 에서 영 제어 가능성은 성립하며, 여기서 $a$ 는 경로의 최대 수평 이격도이다. 이 시간은 관측 가능성 부등식을 통해 날카로운 것으로 밝혀진다.

ABSTRACT

This paper is devoted to the study of the internal null-controllability of the Grushin equation. We determine the minimal time of controllability for a large class of non-rectangular control region. We establish the positive result thanks to the fictitious control method and the negative one by interpreting the associated observability inequality as an $L^2$ estimate on complex polynomials.

연구 동기 및 목표

• 제어 영역이 비직사각형이며 비특이선 $x=0$ 와 만지지 않는 경우 그루시ン 방정식의 최소 영 제어 가능성 시간을 결정하는 것.
• 기존의 수직 스트립에 국한된 제어 가능성 결과를 하부에서 상부 경계로 이르는 경로를 포함하는 더 일반적인 제어 영역으로 확장하는 것.
• 관측 가능성 부등식을 통해 최소 시간 $T > a^2/2$ 가 날카로운지 입증하는 것. 이는 복소다항식에 대한 $L^2$ 추정으로 해석된다.
• 절단 함수를 구성하고 에너지 추정을 사용하여 최소 시간 결과를 비직사각형 영역으로 일반화하는 것.

제안 방법

• 허위 제어 방법을 적용하여 영 제어 가능성 문제를 관측 가능성 부등식으로 환원한다.
• 오른쪽 성분 $\mathbb{R}^2 \setminus \tilde{\gamma}(\mathbb{R})$ 의 지시 함수의 매끄러운 처리를 통해 절단 함수 $\theta$ 를 구성하며, $\operatorname{supp}(\nabla\theta) \subset \omega_0 \subset \omega$ 를 확보한다.
• 단위 분할을 사용하여 해를 자유 부분과 내부 부분으로 분해하고, 가중 공간 $V(\Omega)$ 에서의 에너지 추정을 통해 제어를 유도한다.
• 그루시ン 연산자의 스펙트럼 구조와 특히 룬게의 정리를 이용한 관측 가능성에 대한 반례를 구성하기 위해 복소해석 기법을 활용한다.
• 관측 가능성 부등식을 복소다항식에 대한 $L^2$ 추정으로 해석하고, $L^\infty$ 노름에서 반례를 구성함으로써 최소 시간 $T > a^2/2$ 가 날카로운 것으로 밝혀진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제어 영역이 수직 스트립이 아니지만 도메인의 하부 경계에서 상부 경계로 이르는 경로를 포함하는 경우, 그루시ン 방정식의 영 제어 가능성에 필요한 최소 시간은 무엇인가?
• RQ2 비직사각형 제어 영역에 대해 최소 시간 $T = a^2/2$ 를 달성할 수 있으며, 이 시간이 날카로운가?
• RQ3 특이선 $x=0$ 에서의 제어 영역 기하학적 특성, 특히 거리가 최소 제어 가능성 시간에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 그루시ン 방정식의 관측 가능성 부등식은 복소다항식에 대한 $L^2$ 추정으로 특성화될 수 있으며, 이는 제어 가능성에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 수직 스트립이 아닌 제어 영역에 대해 최소 시간 $T > a^2/2$ 가 날카로운가? 그리고 이는 어떻게 증명되는가?

주요 결과

• 제어 영역 $\omega$ 가 연속 경로 $\gamma$ 의 $\varepsilon$-근접 영역을 포함하면, 모든 $T > a^2/2$ 에서 그루시ン 방정식은 영 제어 가능하며, 여기서 $a = \max_s |\operatorname{abscissa}(\gamma(s))|$ 이다.
• 최소 시간 $T > a^2/2$ 는 날카로운 것으로 밝혀진다: 임의의 $T \leq a^2/2$ 에서 관측 가능성 부등식이 실패하므로 영 제어 가능성은 불가능하다.
• 부정적 결과의 증명은 관측 가능성 부등식을 복소다항식에 대한 $L^2$ 추정으로 해석하고, 룬게의 정리를 이용한 반례를 구성하는 데 기반한다.
• 특히 $\operatorname{supp}(\nabla\theta) \subset \omega_0 \subset \omega$ 를 만족하는 신중히 구성된 절단 함수 $\theta$ 를 통해 제어가 $\omega$ 에 국한된다.
• 이전의 수직 스트립 및 대칭 스트립 결과를 일반화하여, 최소 시간은 경로의 최대 수평 범위에만 의존하며 수직 변화에는 영향을 받지 않는 것으로 나타났다.
• 최소 시간의 날카로움은 다항식의 $L^2$ 노름이 경계에 접근하지 않는 영역 $U$ 에서의 $L^2$ 노름에 의해 유계화될 수 없음을 보여, 필요한 관측 가능성 추정을 위반함으로써 입증된다.