[논문 리뷰] Galerkin approximations of nonlinear optimal control problems in Hilbert spaces

Mickaël D. Chekroun, Axel Kröner외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 03.

Stability and Controllability of Differential EquationsEngineering참고 문헌 63인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간 내 비선형 최적 제어 문제에 대한 갈레르킨 근사의 수렴성을 확립하며, 근사된 가치 함수가 진짜 가치 함수로 균일 수렴하는 데 필요한 최소이자 검증 가능한 조건을 규명한다. 이 접근법은 트로터-카토 반군 이론을 활용하며, 컴acts한 다양체 위의 반선형 열 방정식과 구면 상의 에너지 균형 기후 모델에 적용되어 광범위한 비선형 제어 전략과 비용 함수에 대해 수렴성을 보장한다.

ABSTRACT

Nonlinear optimal control problems in Hilbert spaces are considered for which we derive approximation theorems for Galerkin approximations. Approximation theorems are available in the literature. The originality of our approach relies on the identification of a set of natural assumptions that allows us to deal with a broad class of nonlinear evolution equations and cost functionals for which we derive convergence of the value functions associated with the optimal control problem of the Galerkin approximations. This convergence result holds for a broad class of nonlinear control strategies as well. In particular, we show that the framework applies to the optimal control of semilinear heat equations posed on a general compact manifold without boundary. The framework is then shown to apply to geoengineering and mitigation of greenhouse gas emissions formulated for the first time in terms of optimal control of energy balance climate models posed on the sphere $\\mathbb{S}^2$.

연구 동기 및 목표

• 힐버트 공간 프레임워크 내 비선형 최적 제어 문제에서 갈레르킨 근사의 수렴성을 보장하는 충분조건을 확립하는 것.
• 기존의 선형 진화 방정식에 대한 수렴 결과를 반선형 포아르바틱 PDE와 비선형 지연 미분 방정식을 포함한 비선형 진화 방정식으로 확장하는 것.
• 갈레르킨 근사된 최적 제어 문제와 관련된 가치 함수의 균일 수렴성을 최소이자 검증 가능한 가정 하에 보장하는 것.
• 에너지 균형 기후 모델과 구면 상의 반선형 열 방정식을 포함한 실제 시스템에 대한 적용 가능성을 입증하는 것.
• 고유함수 기반 갈레르킨 기저를 초월하는 일반적인 프레임워크를 제공하여 비이deal 스펙트럼 기저의 사용을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 갈레르킨 근사의 수렴성을 분석하기 위해 $C_0$-반군 이론에서 유래한 트로터-카토 근사 프레임워크를 사용한다.
• 시간과 허용 가능한 제어에 대해 이중 균일 수렴—갈레르킨 상태가 진짜 제어된 상태로 수렴함—을 확립하여 가치 함수 수렴을 보장한다.
• 상태와 제어에 의존하는 비선형성을 다룰 수 있도록 표준 국소 리프시츠 조건을 일반화한 핵심 조건인 가정 (A7)을 도입한다.
• 유한차원 부분공간 위로의 정규직교 프로젝션을 통해 컴팩트 리만다이언 다양체 위의 반선형 열 방정식에 이 프레임워크를 적용한다.
• 지구상의 에너지 균형 모델(Energy Balance Models, EBMs)에 이 방법을 적응하여 기후 공학 및 Greenhouse 기체 감축을 최적 제어 문제로 모델링한다.
• 약한 위상 접근법과 컴팩트니스 추론을 사용하여 표준 함수해석학적 조건 하에서 최적 제어의 존재성과 수렴성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 힐버트 공간 내 비선형 최적 제어 문제에서 갈레르킨 근사의 가치 함수가 진짜 가치 함수로 수렴하기 위한 최소이자 검증 가능한 조건은 무엇인가?
• RQ2 트로터-카토 프레임워크는 비선형 상태 및 제어 의존성 존재 하에서 제어된 궤도와 가치 함수의 균일 수렴을 보장하기 위해 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ3 기저 함수가 선형 연산자의 고유함수가 아닐 경우 갈레르킨 근사 프레임워크는 얼마나 유지될 수 있는가?
• RQ4 기후 모델, 특히 기후 공학 및 배출 감축 전략에 대해 이 수렴 이론을 에너지 균형 모델에 적용할 수 있는가?
• RQ5 이 비선형, 무한차원 설정에서 가치 함수와 최적 제어의 수렴에 대해 유도할 수 있는 오차 추정치는 무엇인가?

주요 결과

• 가정 (A7) 하에서 갈레르킨 근사된 최적 제어 문제의 가치 함수는 점별로 진짜 가치 함수로 수렴하며, 이는 표준 리프시츠 조건을 비선형 항으로 일반화한다.
• 시간과 허용 가능한 제어에 대해 갈레르킨 상태의 균일 수렴이 가치 함수 수렴을 보장하는 핵심 메커니즘이며, 이는 정리 2.1과 추론 2.1로 형식화되어 있다.
• 표준 비선형성과 제어 집합에 대한 가정 하에서 컴팩트 다양체 위의 반선형 열 방정식에 이 프레임워크가 적용되며, 수렴이 보장된다.
• 이 방법은 비선형 지연 미분 방정식의 시스템으로도 확장되어 PDE를 초월해 복잡한 동역학적 시스템(예: ENSO) 모델에의 적용 범위를 넓힌다.
• 가장 제안된 가정 하에서 가치 함수 수렴에 대한 오차 추정치가 도출되어 정량적 경계를 제공한다.
• 갈레르킨 기저가 선형 연산자의 고유함수가 아닐 경우에도 이 접근법은 유효하여 더 유연하고 문제에 특화된 기저 함수의 사용을 가능하게 한다.