[논문 리뷰] On robust pricing-hedging duality in continuous time

Zhaoxu Hou, Jan Obłój|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 10.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 40인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 연속시간 금융시장에서 모델 신뢰를 적합한 경로 집합을 통해 통합함으로써 모델 독립적이고 모델 특정적인 접근 방식을 연결하는 강력한 가격 설정-헤지 이중성(robust pricing-hedging duality)을 수립한다. 초깃값으로서 초과헤지 가격의 하한값이 캘리브레이션된 마링갈리 측도 하에서의 기대 수익의 상한값과 일치함을 증명하며, Dolinsky와 Soner의 마링갈리 최적 운반 이중성 이론을 다중 자산과 다중 만기로 일반화한다.

ABSTRACT

We pursue robust approach to pricing and hedging in mathematical finance. We consider a continuous time setting in which some underlying assets and options, with continuous paths, are available for dynamic trading and a further set of European options, possibly with varying maturities, is available for static trading. Motivated by the notion of prediction set in Mykland (2003), we include in our setup modelling beliefs by allowing to specify a set of paths to be considered, e.g. super-replication of a contingent claim is required only for paths falling in the given set. Our framework thus interpolates between model-independent and model-specific settings and allows to quantify the impact of making assumptions or gaining information. We obtain a general pricing-hedging duality result: the infimum over superhedging prices is equal to supremum over calibrated martingale measures. In presence of non-trivial beliefs, the equality is between limiting values of perturbed problems. In particular, our results include the martingale optimal transport duality of Dolinsky and Soner (2013) and extend it to multiple dimensions and multiple maturities.

연구 동기 및 목표

• 모델 독립적이고 모델 특정적인 가격 설정을 통합하는 프레임워크를 개발하여, 적합한 경로 집합을 통해 모델링 신뢰를 수학적으로 통합한다.
• 연속시간에서 다중 자산과 다중 만기로 마링갈리 최적 운반 이중성을 일반화한다.
• 모든 경로가 아니라 특정 경로 집합에서의 초과재현 조건이 요구되는 강력한 설정 하에서 가격 설정-헤지 이중성을 수립한다.
• 왜곡된 문제의 극한 행동을 분석하여 모델 가정이나 정보 획득의 영향을 정량화한다.
• 클래식한 무아웃라이어 가격 설정 및 헤지 이중성 이론을 킬러니안 불확실성과 정보 부족 상황으로 확장한다.

제안 방법

• 모델링 신뢰를 표현하기 위해 주어진 경로 집합에서만 초과재현이 요구되는 강력한 프레임워크를 정의한다.
• 캘리브레이션된 마링갈리 측도를 사용하여 가격 설정-헤지 이중성의 쌍대 측면을 표현하여 거래 가능한 옵션의 시장 가격과 일관성을 확보한다.
• 브라운 운동의 증분의 독립성과 강한 마르코프 성질을 적용하여 정지 시간과 점프 크기의 재귀적 분포를 유도한다.
• 브라운 운동 증분과 임계값 함수 $\Theta_k$, $\Upsilon_k$를 포함한 재귀 조건을 통해 정지 시간 $\sigma_k$와 랜덤 변수 $Y_k$를 구성한다.
• 과정 $((\vec{\sigma}_{m_0}; \vec{Y}_{m_0}))$ 의 공동 분포를 유도하고, 기준 측도 $\hat{\mathbb{Q}}$ 하에서 $((\vec{\hat{\tau}}_{m_0}; \vec{\Delta\hat{\mathbb{S}}}_{m_0}))$ 의 분포와 일치함을 보인다.
• 전이 확률을 특성화하고 경로 제약 조건과의 일관성을 확보하기 위해 $\Psi_k$, $\Phi_k$, $\Theta_k$, $\Upsilon_k$ 를 포함한 재귀 방정식을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 모델 신뢰를 연속시간 가격 설정 및 헤지에 공식적으로 통합하여 그 영향을 정량화할 수 있는가?
• RQ2 초과재현이 경로의 부분집합에서만 요구될 경우, 가격 설정-헤지 이중성의 정확한 형태는 무엇인가?
• RQ3 마링갈리 최적 운반 이중성은 연속시간에서 다중 자산과 다중 만기로 일반화될 수 있는가?
• RQ4 경로 집합의 왜곡이 초과헤지와 캘리브레이션된 측도 하에서 기대 수익 간의 이중성 관계에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 강한 마르코프 성질과 재귀적 구성은 경로 제약 조건 하에서 이중성 수립에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 전략에 대한 초과헤지 가격의 하한값은, 초과재현이 경로 집합에서 제한될지라도, 모든 캘리브레이션된 마링갈리 측도 하에서의 기대 수익의 상한값과 동일하다.
• 비자명한 모델링 신뢰(즉, 경로 집합이 제한된 경우) 하에서, 왜곡된 문제의 극한에서 이중성이 성립하며, 극한 값 간에 등식이 성립한다.
• 이 프레임워크는 Dolinsky와 Soner의 마링갈리 최적 운반 이중성 이론을 다차원과 다중 만기로 일반화한다.
• 구성된 정지 시간과 점프 크기의 공동 분포는 캘리브레이션된 측도 $\hat{\mathbb{Q}}$ 하에서 기준 과정의 분포와 일치하며, 이는 이중성 구조의 확인을 의미한다.
• $\sigma_k$와 $Y_k$의 재귀적 구성은 경로 제약 조건과 마르코프 성질을 충족시키며, 이중성 증명을 가능하게 한다.
• 재귀 정의에서 $0/0 \equiv 0$ 를 사용함으로써 확률이 0이 되는 경우에도 잘 정의된 행동을 유지하며, 열악한 경우에도 이중성이 유지된다.