[논문 리뷰] String topology for complex projective spaces

Richard Hepworth|arXiv (Cornell University)|2009. 08. 07.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 복소 프로젝티브 공간 $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$의 자유 루프 공간에서 정수 계수를 가진 스트링 토폴로지 바탈린-빌코비치(Batalin-Vilkovisky, BV) 대수적 구조에 대한 완전한 기술을 제공한다. Cohen, Jones, Yan의 원래의 링 구조 연구를 확장하여, BV 연산자 $\Delta$를 명시적으로 계산함으로써, 이 연산자가 오직 음의 차수 생성자 $w$를 포함하는 원소들에 비자명하게 작용하며, 그 계수들이 $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$의 체르누 클래스와 연결됨을 보여준다. 주요 결과는 최상위 체르누 클래스와 이항계수를 포함하는 $\Delta(c^p w v^q)$에 대한 닫힌 공식이다.

ABSTRACT

In 1999 Chas and Sullivan showed that the homology of the free loop space of an oriented manifold admits the structure of a Batalin-Vilkovisky algebra. In this paper we give a complete description of this Batalin-Vilkovisky algebra for complex projective spaces. This builds on a description of the ring structure that is due to Cohen, Jones and Yan. In the course of the proof we establish several new general results. These include a description of how symmetries of a manifold can be used to understand its string topology, and a relationship between characteristic classes and circle actions on sphere bundles.

연구 동기 및 목표

• 정수 계수를 가진 $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$의 스트링 토폴로지 BV 대수를 완성하기 위해, BV 연산자 $\Delta$를 계산하는 것.
• $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$의 특성류와 $H_*(L\mathbb{C}\mathrm{P}^n)$ 위의 BV 대수적 구조 사이의 관계를 설정하는 것.
• 구면 번들의 원환면 작용을 이용한 대칭성을 활용하여 스트링 토폴로지 불변량을 계산하는 기법을 일반화하는 것.
• $S^2$와 $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$에 대한 이전의 결과를 $\mathbb{Q}$ 위에서 복수로 복구하고 확장하는 통합적 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• Cohen, Jones, Yan의 결과를 바탕으로 $\mathbb{H}_*(L\mathbb{C}\mathrm{P}^n;\mathbb{Z})$의 알려진 링 구조를 기초로 삼는다.
• $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$의 접속 번들의 구면 번들의 원환면 작용을 통해 BV 연산자 $\Delta$를 계산하는 새로운 방법을 적용한다.
• $\mathbb{S}T\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ 위의 $S^1$-작용과 관련된 차수 상승 연산자를 이용하여, 특성류를 통해 $\Delta$를 계산한다.
• $\mathbb{S}T\mathbb{C}\mathrm{P}^n$ 위의 두 개의 $S^1$-작용 사이의 호모토피를 수립하여, BV 연산자와 체르누 클래스를 연결한다.
• $c_n(T\mathbb{C}\mathrm{P}^n)$와 $c_{n-1}(T\mathbb{C}\mathrm{P}^n)$를 이용하여 $\Delta$의 공식에서 계수를 결정한다.
• $c(T\mathbb{C}\mathrm{P}^n) = (1+u)^{n+1}$라는 사실을 활용하여, $\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1}$와의 교차수를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정수 계수를 가진 $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$의 스트링 토폴로지 BV 대수에서 BV 연산자 $\Delta$는 어떻게 작용하는가?
• RQ2 $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$의 체르누 클래스와 그 스트링 토폴로지 BV 대수의 구조 상수 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 예를 들어, 구면 번들의 원환면 작용과 같은 다양체의 대칭성을 이용하여 스트링 토폴로지에서 $\Delta$ 연산자를 계산할 수 있는가?
• RQ4 정수 계수를 가진 $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$의 BV 대수는 문헌에서의 유리수 및 정수 계수 계산과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 모든 원소 $c^p v^q$ 형태에 대해 BV 연산자 $\Delta$는 영이 되며, 모든 $p,q \geq 0$에 대해 $\Delta(c^p v^q) = 0$이다.
• 음의 차수 생성자 $w$를 포함하는 원소에 대해서는, $\Delta(c^p w v^q) = \left[(n-p) + q(n+1)\right]c^p v^q + (q+1)\binom{n+1}{2}c^{n+p} v^{q+1}$로 주어진다.
• 공식에서 $\binom{n+1}{2}$ 계수는 $\langle c_{n-1}(T\mathbb{C}\mathrm{P}^n), [\mathbb{C}\mathrm{P}^{n-1}] \rangle = \binom{n+1}{2}$의 평가로부터 유래된다.
• 계수 $(n+1)$은 $\langle c_n(T\mathbb{C}\mathrm{P}^n), [\mathbb{C}\mathrm{P}^n] \rangle = n+1$에 해당하며, 이는 $\mathbb{C}\mathrm{P}^n$의 최상위 체르누 수이다.
• 공식 $\Delta$는 $\mathbb{Q}$로 텐서곱을 취할 경우 Yang [Yan07]의 유리수 스트링 토폴로지 결과를 복원하며, 동시에 Menichi의 $S^2 = \mathbb{C}\mathrm{P}^1$ 결과를 복원한다.
• BV 대수적 구조는 링 구조와 $\Delta$의 명시적 작용에 의해 완전히 결정되며, 게르스텐하버 괄호는 BV 항등식에 의해 결정된다.