[論文レビュー] A Large Deviation Principle in Holder Norm for Multiple Fractional Integrals

Marta Sanz-Sol|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Hurstパラメータ H ∈ (1/2, 1) を持つ自己相似性と長-range依存性を示す分数 Browm運動（fBm）によって駆動される複数の分数積分に関して、H"olderノルムにおける大偏差原理（LDP）を確立する。fBm を標準 Browm 動作に関するストキャスティック積分表現を用いることで、単体上での複数の不定積分を構成し、スケーリングされた過程の分布が H"older位相で LDP を満たすことを証明する。本研究は、不規則的で長記憶性を持つ確率過程への大偏差理論の拡張を達成する。

ABSTRACT

For a fractional Brownian motion B H with Hurst parameter H ∈ ) 1 , 1 (∪) 1 ,1(, multiple indefinite integrals on a simplex are constructed and the reg- ularity of their sample paths are studied. Then, it is proved that the family of probability laws of the processes obtained by replacing B H by e 1 2 B H satisfies a large deviation principle in Holder norm. The definition of the multiple integrals relies upon a representation of the fractional Brownian motion in terms of a stochas- tic integral with respect to a standard Brownian motion. For the large deviation principle, the abstract general setting in (7) is used.

研究の動機と目的

• 単体上における分数 Browm 動作の複数の不定積分の標本パスの正則性を調査すること。
• 長-range依存性を持つ fBm によって駆動される複数の確率積分への大偏差理論の拡張すること。
• fBm を指数 martingale 変換で置き換えたスケーリング過程について、H"olderノルムにおける大偏差原理を確立すること。
• 不規則的でマルコフ過程でない過程に対する確率解析における厳密な分析的枠組みを提供すること。

提案手法

• 標準 Browm 動作に関する fBm のストキャスティック積分表現を用いて、複数の積分の構成を可能にする。
• fBm のストキャスティック積分表現を用いて、単体上での複数の不定積分を定義する。
• 変換された過程（fBm の半分の指数関数を含む）に抽象的大偏差フレームワーク（(7) として引用）を適用する。
• H"olderノルムにおいて、変換測度下での確率のタイトネスと指数的減衰を証明する。
• 標本パスの正則性特性を用いて、H"older位相における収束を保証する。
• H"older空間における一様推定と縮約原理を用いて、LDP を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の分数積分の確率測度族は、H"olderノルムにおいて大偏差原理を満たすか？
• RQ2 fBm の複数積分の標本パスの正則性は、大偏差挙動にどのように影響するか？
• RQ3 抽象的大偏差フレームワーク (7) は、fBm のような非マルコフ的・自己相似的過程に適用可能か？
• RQ4 指数 martingale 変換は、H"older位相における大偏差挙動にどのような影響を及ぼすか？
• RQ5 Hurstパラメータ H ∈ (1/2, 1) の選択は、レート関数および LDP における収束にどのように影響するか？

主な発見

• H ∈ (1/2, 1) の場合、単体上における分数 Browm 動作の複数の不定積分は、ほとんど確実に H"older連続な標本パスを持つことが示された。
• fBm を e^{1/2 B^H} で置き換えたスケーリング過程の確率測度族は、H"olderノルム位相において大偏差原理を満たす。
• 抽象的フレームワーク（(7) として引用）を用いて LDP が確立され、H"older空間における良いレート関数の存在が保証された。
• 複数積分の構成は、標準 Browm 動作に関する fBm のストキャスティック積分表現に強く依存している。
• 積分の正則性により、収束が分布収束よりも強い H"older位相で成立することが保証された。
• 本結果は、非ガウス的標本パスを示す非マルコフ的・長記憶性を持つ過程への大偏差理論の拡張を達成した。