[论文解读] A Local Resolution of the Problem of Time. VII. Constraint Closure

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 53被引用 11

一句话总结

本文提出TRi-Dirac算法——一种Dirac算法的改进版本——在广义协变理论的时空关系性与构型关系性框架下，一致地解决约束闭包问题。通过以循环微分替代拉格朗日乘子，并采用微分哈密顿量与反-鲁什扬，该方法确保约束代数结构与背景无关性相容，以关系性方式解决了约束闭包问题。

ABSTRACT

We now set up Constraint Closure in a manner consistent with Temporal and Configurational Relationalism. This requires modifying the Dirac Algorithm - which addresses the Constraint Closure Problem facet of the Problem of Time piecemeal - to the TRi-Dirac Algorithm. This is a member of the wider class of Dirac-type algorithms that enjoys the property of being Temporal Relationalism implementing (TRi). Constraint algebraic structures ensue. We include examples of types of constraint, outcomes of the Dirac Algorithm and different kinds of Constraint Closure Problems. Enough new Principles of Dynamics is required to support this venture that an Appendix on it is provided: differential Hamiltonians, anti-Routhians, and the brackets, state spaces and morphisms corresponding to these.

研究动机与目标

• 在保持时空关系性与构型关系性一致的前提下，解决广义协变理论中的约束闭包问题。
• 将Dirac算法扩展为一种关系性框架，通过新的算法结构保持背景无关性。
• 利用微分哈密顿量、反-鲁什扬与混合泊松–贝里尔斯括号，建立一致的动力学形式体系。
• 确保在关系性约束下，约束代数结构保持闭合并具有物理意义。
• 通过引入一类新型哈密顿形式体系，统一关系性与约束闭包，为量子引力提供原则性基础。

提出的方法

• 提出TRi-Dirac算法作为标准Dirac算法的关系性扩展，以循环微分替代拉格朗日乘子，以保持时空关系性与构型关系性。
• 引入$π$-微分哈密顿量（$\mbox{\bf d}\partial$ A-Hamiltonian）与$\mbox{\bf d}\partial$-反-鲁什扬作为核心动力学对象，其符号相对于反-鲁什扬多一个负号。
• 在形如$Can(\mathfrak{T}^{*}(\mathfrak{q})) \times Point(\mathfrak{g})$的相空间上采用混合泊松–贝里尔斯括号结构，将规范变量的泊松括号与循环微分的贝里尔斯括号相结合。
• 使用$\mbox{\bf d}\partial^{-1}$-勒让德矩阵编码动量变化关系的非可逆性，替代奇异系统中的标准勒让德矩阵。
• 利用合成记号处理有限系统与场论系统：$\mathcal{C} := \mathscr{F}\lfloor\mathbf{Q},\mathbf{P}\rfloor$（有限）与$\mathcal{F}(\underline{x};\mathbf{Q},\mathbf{P})$（场）。
• 通过$\mbox{\bf d}\partial\mathbf{Q} = \frac{\boldsymbol{\delta}\partial \mathscr{A}}{\boldsymbol{\delta}\partial \mathbf{P}}$，$\mbox{\bf d}\partial\mathbf{P} = -\frac{\boldsymbol{\delta}\partial \mathscr{A}}{\boldsymbol{\delta}\partial \mathbf{Q}}$，以及$\frac{\boldsymbol{\delta}\partial \mathscr{A}}{\boldsymbol{\delta}\partial \mathbf{d}\partial \mathbf{c}} = 0$推导运动方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在尊重时空关系性与构型关系性的关系性框架中，一致地实现约束闭包？
• RQ2 为确保闭包性并保持背景无关性，对Dirac算法需作何修改？
• RQ3 微分哈密顿量与反-鲁什扬在奇异系统的关系性约束处理中发挥何种作用？
• RQ4 混合泊松–贝里尔斯括号在关系性约束系统的相空间结构中扮演何种角色？
• RQ5 循环微分如何在约束演化过程中替代拉格朗日乘子以维持关系性不变性？

主要发现

• TRi-Dirac算法成功实现了与时空关系性与构型关系性完全一致的约束闭包，避免了使用拉格朗日乘子。
• $\mbox{\bf d}\partial$ A-Hamiltonian形式体系为标准哈密顿量提供了关系性替代，其约束由循环微分而非拉格朗日乘子导出。
• 混合泊松–贝里尔斯括号的使用确保了与规范动力学及关系性动力学的兼容性，且在物理子空间上退化为标准泊松括号。
• $\mbox{\bf d}\partial^{-1}$-勒让德矩阵正确编码了动量变化关系的非可逆性，使奇异系统的处理保持一致。
• 约束代数结构在TRi-Dirac算法下得以保持，$\mathcal{C}_{\text{chronos}}$与$\mathcal{S}_{\text{huffle}}$的自洽性与相互第一类行为决定了关系性成功。
• 该形式体系通过合成记号统一处理有限系统与场论系统，使约束闭包问题的系统性分析成为可能。