[论文解读] A Maslov Map for Coisotropic Submanifolds, Leaf-wise Fixed Points and Presymplectic Non-Embeddings

Fabian Ziltener|ArXiv.org|Nov 7, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用 8

一句话总结

本文为辛流形中的共厄子流形引入了一个实值Maslov映射，通过引入余单连通叶丛的holonomy，将经典Lagrangian Maslov指标推广至余维数小于环境维数一半的情形。关键贡献是在单调性与几何有界性假设下，给出了哈密顿微分同胚的叶间不动点数的下界，从而导出新的预辛嵌入障碍，并建立了Audin猜想的共厄版本。

ABSTRACT

Let $(M,ω)$ be a symplectic manifold, $N\subseteq M$ a coisotropic submanifold, and $Σ$ a compact oriented (real) surface. I define a natural Maslov index for each continuous map $u:Σ o M$ that sends every connected component of $\partialΣ$ to some isotropic leaf of $N$. This index is real valued and generalizes the usual Lagrangian Maslov index. The idea is to use the linear holonomy of the isotropic foliation of $N$ to compensate for the loss of boundary data in the case codimension $N

研究动机与目标

• 在余维数小于环境维数一半时，为辛流形中的共厄子流形定义广义Maslov指标，此时标准边界数据不足。
• 在几何有界、单调、正则的共厄子流形上，建立哈密顿微分同胚的叶间不动点数的下界。
• 通过新Maslov映射与不动点下界，推导出新的预辛非嵌入障碍。
• 证明Audin猜想的共厄版本，将经典辛不动点理论推广至共厄情形。

提出的方法

• 利用Salamon-Zehnder路径在辛自同构群中的平均Maslov指标，将其适配于共厄子流形的余单连通叶丛，构造Maslov映射。
• 通过余单连通叶丛的线性holonomy补偿缺失的边界数据，该holonomy编码了特征分布的单值性。
• 映射定义在从紧致定向曲面到环境流形的连续映射的同伦类上，且边界分量映射到余单连通叶。
• 利用圆周上的缠绕映射的连续性及紧拓扑，证明Maslov指标的连续性。
• 证明依赖于平坦线性传输的群胚理论框架，以及通过形变重取向论证对映射到商空间的同伦类进行分类。
• 关键技术工具是构造兼容同伦类空间之间的同胚，从而通过提升与相容性条件定义Maslov映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典Maslov指标推广至辛流形中任意余维数的共厄子流形？
• RQ2 当边界数据不完整时，余单连通叶丛的holonomy在定义一致Maslov指标中起什么作用？
• RQ3 在单调性与几何有界性假设下，能否建立叶间不动点数的下界？
• RQ4 该广义Maslov指标会引出哪些新的预辛嵌入障碍？
• RQ5 Audin猜想的共厄版本是否成立，从而将Lagrangian子流形的不动点理论扩展至共厄情形？

主要发现

• 为从紧致定向曲面到辛流形的连续映射定义了实值Maslov映射，且边界映射到共厄子流形的余单连通叶。
• Maslov映射推广了经典Lagrangian Maslov指标，并在$N = M$情形下恢复了两倍的第一陈类。
• 在$N$的几何有界性与单调性下，建立了哈密顿微分同胚的叶间不动点数的下界。
• 本文证明了Audin猜想的共厄版本，将不动点理论推广至共厄子流形。
• 推导出新的预辛非嵌入障碍，将先前工作中所需的“无挠性”条件替换为单调性。
• Maslov映射关于紧拓扑是连续的，确保在小扰动下保持稳定。