[논문 리뷰] Algorithmically complex residually finite groups

Olga Kharlampovich, Alexei Myasnikov외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 29.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 27인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 계급 3의 가역군에서 민스키 기계의 시뮬레이션을 통해 임의로 높은 재귀적 딜 함수와 깊이 함수를 가진 처음으로 유한적으로 표현된 잔여 유한군을 구성한다. 핵심 기여는 계급 3의 유한 가역군의 보편 이론이 결정 불가능하다는 것을 증명하여 알고리즘 군론에서 오랫동안 열려 있던 문제를 해결했다.

ABSTRACT

We construct the first examples of an algorithmically complex finitely presented residually finite groups and first examples of finitely presented residually finite groups with arbitrarily large (recursive) Dehn function and depth function. The groups are solvable of class 3. We also prove that the universal theory of finite solvable of class 3 groups is undecidable.

연구 동기 및 목표

• 임의로 큰 딜 함수를 가진 유한적으로 표현된 잔여 유한군을 구성하기.
• 임의로 큰 깊이 함수를 가진 이러한 군의 존재를 보여주기.
• 계급 3의 유한 가역군의 보편 이론이 결정 가능한가에 대한 오랜 동안의 열린 문제를 해결하기.
• 잔여 유한군에서의 알고리즘 복잡도가 초지수적 경계를 초월할 수 있음을 보여주기.
• 민스키 기계의 시뮬레이션을 가역군으로 확장하여 보편 이론에서 결정 불가능성을 달성하기.

제안 방법

• 깊이 함수가 큰 유한적으로 표현된 반군을 사용해 민스키 기계를 시뮬레이션하기.
• 군론적 구성 방법을 통해 이러한 반군들을 계급 3의 가역군에 통합하기.
• HNN 확장과 프로-군 위상수학을 사용해 잔여 유한성을 유지하면서 왜곡을 통제하기.
• 수용 및 비정지 집합이 결정 불가능한 4잔 유리 민스키 기계를 시뮬레이션하는 군 $ G'(M_n) $를 구성하기.
• 보편 공식을 통해 수용 및 비정지 상태 구성의 재귀적 분리 불가능성을 증명하기.
• 클래스 $ \mathcal{A}_p^2\mathcal{A} \cap \mathcal{Z}\mathcal{N}_5\mathcal{A} $의 유한 군에서 보편 이론이 결정 불가능하다는 것을 입증하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한적으로 표현된 잔여 유한군이 임의로 큰 재귀 함수보다 더 빠르게 증가하는 딜 함수를 가질 수 있는가?
• RQ2 임의로 큰 깊이 함수를 가진 유한적으로 표현된 잔여 유한군이 존재하는가?
• RQ3 계급 3의 유한 가역군의 보편 이론이 결정 가능한가?
• RQ4 프로-군 폐쇄 부분군에서의 왜곡과 HNN 확장의 잔여 유한성 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 민스키 기계를 유한적으로 표현된 가역군에서 시뮬레이션하여 그 보편 이론에서 결정 불가능성을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 임의로 높은 재귀적 딜 함수를 가진 처음으로 유한적으로 표현된 잔여 유한군의 예를 구성한다.
• 논문은 임의로 큰 깊이 함수를 가진 처음으로 유한적으로 표현된 잔여 유한군의 예를 제공한다.
• 계급 3의 유한 가역군의 보편 이론이 결정 불가능하다는 것이 증명되었다.
• 계급 3의 가역군에서 4잔 유리 민스키 기계의 시뮬레이션을 통해 결정 불가능성을 달성했다.
• 군 $ G'(M_n) $ 는 유한적으로 표현되고 잔여 유한하며, 결정 불가능한 단어 문제를 가진다.
• 민스키 기계 시뮬레이션에서 수용 및 비정지 상태 구성 간의 재귀적 분리 불가능성은 해당 유한 군 클래스에서 보편 이론의 결정 불가능성을 암시한다.