[论文解读] Averaging for resonant weakly nonlinear stochastic Schr\"odinger equations

Sergei Kuksin, Alberto Maiocchi|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2013

Stochastic processes and financial applications被引用 1

一句话总结

本文研究了在环面上带有随机强迫和阻尼的弱非线性随机薛定谔方程的长时间行为，表明当耦合参数 $\varepsilon \to 0$ 时，解的分布和稳态测度收敛于由共振非线性项驱动的有效方程的分布和测度。关键结果是，有效动力学由一个简化方程描述，其非线性项 $F(u)$ 来自原始 $|u|^{2q_*}u$ 单项中的共振项。

ABSTRACT

We consider the free linear Schrodinger equation on a torus $\mathbb T^d$, perturbed by a hamiltonian nonlinearity, driven by a random force and damped by a linear damping: $$ u_t -i\Delta u +i u ho |u|^{2q_*}u = - u f(-\Delta) u + \sqrt u\,\frac{d}{d t}\sum_{k\in \mathbb Z^d} b_l\beta^k(t)e^{ik\cdot x} . $$ Here $u=u(t,x), x\in\mathbb T^d$, $0< u\ll 1$, $q_*\in\mathbb N$, $f$ is a positive continuous function, $ ho$ is a positive parameter and $\beta^k(t)$ are standard independent complex Wiener processes. We are interested in limiting, as $ u o0$, behaviour of distributions of solutions for this equation and of its stationary measure. Writing the equation in the slow time $ au= u t$, we prove that the limiting behaviour of the both is described by the effective equation $$ u_ au+ f(-\Delta) u = -iF(u)+\frac{d}{d au}\sum b_k\beta^k( au)e^{ik\cdot x} \, $$ where the nonlinearity $F(u)$ is made out of the resonant terms of the monomial $ |u|^{2q_*}u$. We explain the relevance of this result for the problem of weak turbulence

研究动机与目标

• 理解在环面上具有随机强迫和阻尼的弱非线性随机薛定谔方程解的极限行为。
• 在小耦合极限 $\varepsilon \to 0$ 下刻画随机方程的稳态测度。
• 识别从非线性项 $|u|^{2q_*}u$ 中通过共振相互作用产生的有效动力学。
• 阐明这种有效动力学对于非线性色散系统中弱湍流问题的相关性。

提出的方法

• 通过 $\tau = \varepsilon t$ 进行时间重标度，以在随机薛定谔方程中分离慢变与快变动力学。
• 应用平均化技术以消除由线性薛定谔算子和随机强迫引起的快速振荡。
• 在非线性单项 $|u|^{2q_*}u$ 中识别并分离出在极限下对有效非线性 $F(u)$ 有贡献的共振项。
• 推导有效方程 $\partial_\tau u + f(-\Delta)u = -iF(u) + \frac{d}{d\tau}\sum b_k\beta^k(\tau)e^{ik\cdot x}$，其中 $F(u)$ 捕获了共振相互作用的净效应。
• 利用哈密顿结构和噪声的性质（复布朗运动过程）确保在 $\varepsilon \to 0$ 极限下平均化过程的有效性。
• 在 $f$ 和噪声系数 $b_k$ 满足适当条件时，建立解分布和稳态测度向有效方程的分布和测度的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当耦合参数 $\varepsilon$ 趋近于零时，弱非线性随机薛定谔方程解的分布行为如何？
• RQ2 在小 $\varepsilon$ 参数区域下，随机方程的稳态测度具有何种结构？
• RQ3 在非线性项 $|u|^{2q_*}u$ 中，哪些项由于共振效应而主导了长时间动力学？
• RQ4 通过平均化推导出的有效方程如何捕捉原系统的本质动力学？
• RQ5 共振非线性项 $F(u)$ 与色散系统中弱湍流现象之间有何关联？

主要发现

• 在极限 $\varepsilon \to 0$ 下，原始随机薛定谔方程解的分布收敛于有效方程 $\partial_\tau u + f(-\Delta)u = -iF(u) + \frac{d}{d\tau}\sum b_k\beta^k(\tau)e^{ik\cdot x}$ 的分布。
• 有效非线性项 $F(u)$ 显式地由原始 $|u|^{2q_*}u$ 单项中的共振项构造而成，捕捉了主导的长时间行为。
• 原始方程的稳态测度在 $\varepsilon \to 0$ 时弱收敛于有效方程的稳态测度。
• 平均化过程成功地消除了快速振荡，同时在极限下保持了系统的统计特性。
• 该结果为理解弱湍流提供了严格的框架，因为有效方程捕捉了由共振相互作用驱动的能量传递机制。
• 该方法适用于一大类噪声和阻尼结构，前提是 $f$ 连续且为正，且噪声系数 $b_k$ 表现良好。