[論文レビュー] Floer field theory for tangles

Katrin Wehrheim, Chris Woodward|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 40被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、穴あき曲面上のトレースゼロの単位根をもつ平坦SU(r)-束のモジュライ空間にクィルトド・フロアー理論を適用することで、ファンクター値の不変量をねじれのためのものとして構成する。tangle bordismを単一の臨界点をもつ基本的部品に分解することにより、著者たちは一般化されたフカヤカテゴリ間の$A_\infty$-ファンクターを割り当てるシンプレクティック場理論を定義し、Cerf分解に関して不変であることを証明し、五つ穴あき球面におけるSeidelの計算を用いてシンプレクティックマッピングクラス群の非自明な元を確立する。

ABSTRACT

We use quilted Floer theory to construct functor-valued invariants of tangles arising from moduli spaces of flat bundles on punctured surfaces. As an application, we show the non-triviality of certain elements in the symplectic mapping class groups of moduli spaces of flat bundles on punctured spheres.

研究の動機と目的

• ラグランジュ・フロアー・コホモロジーとクィルトド・フロアー理論を用いて、ねじれのためのファンクター値不変量を開発すること。
• ラベルおよび共役類に適切な可解性条件を課えることで、平坦束のモジュライ空間における特異性および非単調性を克服すること。
• tangle bordismを単一の臨界点をもつ基本的部品に分解することにより、ねじれおよびグラフのための一貫性のある場理論を定義すること。
• Cerf分解に関しての構成の独立性を確立し、同値関係の下での不変性を証明すること。
• 五つ穴あき球面における計算を用いて、シンプレクティックマッピングクラス群の元の非自明性を示すこと。

提案手法

• 平坦SU(r)-束のトレースゼロの単位根をもつモジュライ空間の一般化されたフカヤカテゴリ間のファンクターを、クィルトド・フロアー理論を用いて関連付ける。
• 単一の孤立臨界点をもつモース関数を用いてtangle bordismを基本的部品に分解し、滑らかで単調なラグランジュ対応を保証する。
• 各基本的bordism-with-tangleにわたって拡張できる、積モジュライ空間の部分集合として一般化されたラグランジュ対応を定義する。
• 相対的スピン構造を対応に備えることで、フロアー理論的ファンクターが適切に定義されることを保証し、[51]および[56]の結果に依拠する。
• Cerf移動に関して不変性を証明するため、基本的移動における対応の合成の同値性を示す。これには頂点およびインデックス1の臨界点遷移が含まれる。
• 五つ穴あき球面におけるSeidelの計算を活用し、モジュライ空間のシンプレクティックマッピングクラス群に非自明な元が存在することを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トレースゼロの単位根をもつ平坦束のモジュライ空間におけるラグランジュ・フロアー理論を用いて、ねじれのためのファンクター値不変量を構成できるか？
• RQ2 特異的かつ非単調な平坦束のモジュライ空間は、どのようにしてクィルトド・フロアー不変量を支えるために正則化できるか？
• RQ3 tangle bordismを基本的部品に分解した場合、得られるファンクターは異なる分解に対して不変か？
• RQ4 ここに構築されたシンプレクティック場理論とインスタントン・ノット不変量、あるいはアティヤ＝フロアー予想との関係は何か？
• RQ5 穴あき曲面上の平坦束のモジュライ空間のシンプレクティックマッピングクラス群において、非自明な元を検出できるか？

主な発見

• 本稿は、tangleカテゴリTan(X,r,d)から$A_\infty$-カテゴリの圏へのwell-definedなファンクターを構成し、各ラベル付き境界に対して平坦束のモジュライ空間の一般化されたフカヤカテゴリを割り当てる。
• Cerf移動に関して不変であること、特に頂点およびインデックス1の臨界点遷移を含むことから、Cerf分解の選択に依存しないことが示された。
• 等しいラベルをもつ五つ穴あき球面に対して、Seidelの結果を用いた計算により、シンプレクティックマッピングクラス群に非自明な元が存在することがわかった。
• 基本的bordism-with-tangleに付随する一般化されたラグランジュ対応は、ラベルおよび共役類に対する可解性仮定の下で滑らかで単調である。
• 得られる場理論はグラフへと拡張され、可解ラベルをもつ装飾付きグラフのためのシンプレクティック値場理論を定義する。
• 特異なモジュライ空間が存在する場合でも、可解性および単調性条件のおかげで、ファンクター的不変量は同値関係の下でwell-definedかつ独立である。