[論文レビュー] Four New Forms of the Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich Expansions and its Application to the High-Order Strong Numerical Methods for Ito Stochastic Differential Equations

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 47被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非可換ノイズを有する Itô 伊藤型確率微分方程式に対する高次強解法のための、Taylor–Ito および Taylor–Stratonovich 展開の4つの新しい統一形を導入し、必要な反復確率積分の数を最小化する。一般化された多重フーリエ–レジェンドル級数（多重度6まで）を活用することで、収束次数 1.0、1.5、2.0、2.5、3.0 の高次強数値スキームを導出し、非可換ノイズを有する SDE の正確な数値シミュレーションに不可欠な複雑な確率積分の効率的平均二乗近似を可能にする。

ABSTRACT

The problem of the Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich expansions of the Ito stochastic processes in a neighborhood of a fixed moment of time is considered. The classical forms of the Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich expansions are transformed to the four new representations, which includes the minimal sets of different types of iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals. Therefore, these representations (the so-called unified Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich expansions) are more convenient for constructing of high-order strong numerical methods for Ito stochastic differential equations. Explicit one-step strong numerical schemes with the orders of convergence 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, and 3.0 based on the unified Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich expansions are derived. Effective mean-square approximations of iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals from these numerical schemes are constructed on the base of the multiple Fourier-Legendre series with multiplicities 1 to 6.

研究の動機と目的

• 非可換ノイズを有する Itô 型SDEの高次強数値スキームにおいて、反復 Itô および Stratonovich 確率積分の効率的平均二乗近似法の欠如に対処すること。
• 古典的 Taylor–Ito および Taylor–Stratonovich 展開の複雑さを、必要な異なる反復確率積分の数を最小化することで軽減すること。
• 高次強数値法の構築を簡素化する統一された展開を構築すること。
• 多重度1から6までの一般化された多重フーリエ–レジェンドル級数を用いて、反復確率積分の厳密な平均二乗近似を提供すること。
• 収束解析および Wong–Zakai 近似理論との関連を用いて、提案スキームの妥当性を検証すること。

提案手法

• 反復 Itô 確率積分に必要な集合を最小化するように再構成することで、2つの新しい統一された Taylor–Ito 展開を導出する。
• 反復 Stratonovich 積分に対しても同様の最小化戦略を用いて、2つの新しい統一された Taylor–Stratonovich 展開を構築する。
• 統一された展開に基づき、収束次数 1.0、1.5、2.0、2.5、3.0 の明示的一次ステップ強数値スキームを構築する。
• 多重度1から6までの一般化された多重フーリエ–レジェンドル級数を用いて、反復確率積分の効果的な平均二乗近似を実現する。
• Wong–Zakai 近似フレームワークを適用し、フーリエ級数に基づく近似が真の確率積分に収束することを正当化する。
• ウィENER過程の増分のフーリエ級数展開の平均二乗近似および l.i.m.（平均二乗における極限）収束に関する定理を用いて、理論的収束性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次数値スキームのための反復確率積分の数を最小化するように、古典的 Taylor–Ito および Taylor–Stratonovich 展開を再定式化する方法は何か？
• RQ2 高次強数値法の効率的実装を可能にする統一された Taylor–Ito および Taylor–Stratonovich 展開の最適構造は何か？
• RQ3 多重度6までの一般化された多重フーリエ–レジェンドル級数は、反復 Itô および Stratonovich 確率積分に対して効果的かつ安定した平均二乗近似を提供できるか？
• RQ4 高次強数値統合の文脈において、提案された統一された展開は古典的形式と比較して、どの程度効率的で正確か？
• RQ5 確率積分のフーリエ級数近似は平均二乗意味でどの程度収束するのか？また、Wong–Zakai 近似とはどのような関係にあるか？

主な発見

• 本稿では、反復 Itô 確率積分に必要な最小限の集合を用いる2つの新しい統一された Taylor–Ito 展開を成功裏に導出し、数値的実装の簡素化を達成した。
• 同様に、必要な反復 Stratonovich 積分の数を最小化する2つの新しい統一された Taylor–Stratonovich 展開が導入された。
• 統一された展開に基づき、収束次数 1.0、1.5、2.0、2.5、3.0 の明示的一次ステップ強数値スキームが構築され、Itô SDE の高精度シミュレーションが可能になった。
• 多重度1から6までの一般化された多重フーリエ–レジェンドル級数を用いて、反復 Itô および Stratonovich 確率積分の効果的な平均二乗近似が達成された。
• l.i.m. 収束を用いた理論的収束性が確立され、Wong–Zakai 近似と関連する定理により、厳密な正当化がなされた。
• 結果として、提案された近似が標準的な Itô–Stratonovich 関係と整合しており、非可換ノイズを有するSDEに対して正確な数値解をもたらすことが確認された。