[論文レビュー] Explicit One-Step Strong Numerical Methods of Orders 2.0 and 2.5 for Ito Stochastic Differential Equations Based on the Unified Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich Expansions

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 32被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、多次元非可換ノイズを伴うイト型確率微分方程式に対する、2.0次および2.5次の一様な1ステップ強数値解法を、統一されたテイラー–イトおよびテイラー–ストラトノビッチ展開を用いて提示する。反復イトおよびストラトノビッチ確率積分（次数1〜5）の高精度な平均二乗収束を達成するため、一般化された多重フーリエ–レジェンドル級数を用いて近似する。さまざまな積分タイプに対して、明示的な誤差見積もりを伴う高精度な平均二乗収束が実現される。

ABSTRACT

The article is devoted to the construction of explicit one-step strong numerical methods with the orders 2.0 and 2.5 of convergence for Ito stochastic differential equations with multidimensional non-commutative noise. We consider the numerical methods based on the unified Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich expansions. For the numerical modeling of iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals of multiplicities 1 to 5 we apply the method of multiple Fourier-Legendre series converging in the sense of norm in Hilbert space $L_2([t, T]^k),$ $k=1,\ldots,5$. The article is addressed to engineers who use numerical modeling in stochastic control and for solving the non-linear filtering problem. The article will be interesting to scientists who working in the field of numerical integration of stochastic differential equations.

研究の動機と目的

• 非可換ノイズを伴う多次元イト型確率微分方程式に対する、2.0次および2.5次の一様な1ステップ強数値解法の開発。
• 次数1〜5までの反復イトおよびストラトノビッチ確率積分の正確な平均二乗近似の課題への対処。
• 高次数の数値スキームを構築するため、テイラー–イトおよびテイラー–ストラトノビッチ展開を統一すること。
• 一般化された多重フーリエ–レジェンドル級数を用いて、計算的に実行可能で数値的に安定した確率積分の近似を提供すること。

提案手法

• 統一されたテイラー–イトおよびテイラー–ストラトノビッチ展開を用いて、イトSDEの高次数スキームを導出する。
• 次数1〜5の反復イトおよびストラトノビッチ確率積分の近似に、$L_2([t,T]^k)$における一般化された多重フーリエ級数を適用する。
• 多重フーリエ–レジェンドル級数展開を用いて、ヒルベルト空間ノルムにおける確率積分の表現を実現する。
• 反復積分のフーリエ–レジェンドル展開における係数 $C_{j_k o j_1}^{(i_1 o i_k)}$ の明示的公式を導出する。
• イト積分とストラトノビッチ積分の関係を用いて、混合型積分の誤差見積もりを導出する。
• 展開項数 $q$ および時間刻み $Δ$ に依存する平均二乗誤差の境界を用いて収束性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換ノイズを伴う多次元イト型確率微分方程式に対する、2.0次および2.5次の一様な1ステップ強数値解法をどのように構築できるか？
• RQ2 次数1〜5までの反復イトおよびストラトノビッチ確率積分を、高精度に近似する最適な方法は何か？
• RQ3 フーリエ–レジェンドル級数近似の平均二乗誤差は、展開項数 $q$ および時間刻み $Δ$ に対してどのようにスケーリングされるか？
• RQ4 テイラー–イトおよびテイラー–ストラトノビッチ展開に基づく統一的フレームワークは、安定的かつ収束する高次数スキームを生み出せるか？
• RQ5 特定の反復積分、たとえば $I_{(000) au_{p+1}, au_p}^{*(i_1 i_2 i_3)}$ および $I_{(100) au_{p+1}, au_p}^{*(i_1 i_2 i_3)}$ の近似に対する明示的な誤差境界は何か？

主な発見

• 統一されたテイラー展開を用いることで、非可換ノイズを伴う多次元イトSDEに対して、強収束次数2.0および2.5を達成する。
• 近似された反復イトおよびストラトノビッチ積分の平均二乗誤差は明示的に境界付けられており、例示では次数に応じて $Δ^3$、$Δ^4$、$Δ^5$ のオーダーの誤差が得られている。
• $q=6$ の場合、$I_{(000) au_{p+1}, au_p}^{*(i_1 i_2 i_3)}$ の平均二乗誤差は約 $0.01956\Delta^3$ であり、高い精度が確認された。
• $q=2$ の場合、$I_{(100) au_{p+1}, au_p}^{*(i_1 i_2 i_3)}$ の誤差は約 $0.00815\Delta^5$ であり、5次収束の挙動が裏付けられた。
• $q=1$ の場合、$I_{(00000) au_{p+1}, au_p}^{*(i_1 i_2 i_3 i_4 i_5)}$ の誤差は $≈ 0.00759\Delta^5$ に有界であり、高次数の積分に対しても効果的な近似が可能であることが示された。
• 誤差見積もりにおける定数 $C$ は $q$ に依存しないため、異なる展開截断レベル間でも安定な誤差制御が可能である。