[論文レビュー] Expansions of Multiple Stratonovich Stochastic Integrals From the Taylor-Stratonovich Expansion, Based on Multiple Trigonometric Fourier Series. Comparison With the Milstein Expansion

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 30被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、繰り返しストラトノビッチ確率積分を展開するための新しい手法である一般化された多重三角関数フーリエ級数を用いたMilstein展開と比較している。三角関数フーリエ級数が、特に数値的実装において、ルジャンドル級数よりもより効果的で正確なアプローチを提供することを示している。

ABSTRACT

The article is devoted to comparison of the Milstein expansion of iterated Stratonovich stochastic integrals with the method of expansion of iterated stochastic integrals, based on generalized multiple Fourier series. We consider some practical material connected with the expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals from the Taylor-Stratonovich expansion, based on multiple trigonometric Fourier series. The comparison of effectiveness of the Fourier-Legendre series as well as the trigonomertic Fourier series for expansion of iterated Stratonovich stochastic integrals is considered.

研究の動機と目的

• 繰り返しストラトノビッチ確率積分を近似するための、多重三角関数フーリエ級数に基づく新しい手法とMilstein展開の有効性を比較すること。
• 繰り返しストラトノビッチ積分の展開において、三角関数フーリエ級数とルジャンドル級数の性能を評価すること。
• 確率微分方程式におけるこれらの展開の数値的実装に関する実用的洞察を提供すること。
• 確率積分の文脈におけるフーリエに基づく展開の収束性と計算効率を評価すること。

提案手法

• 反復ストラトノビッチ確率積分の高次近似を導出するために、テイラー＝ストラトノビッチ展開を用いる。
• 展開プロセスにおける被積分関数を一般化された多重三角関数フーリエ級数で表現する。
• 級数表現の収束性と安定性を保証するために、正規直交三角関数系を用いる。
• 精度と計算複雑性の観点から、得られた展開を標準的なMilstein展開と比較する。
• 同じクラスの確率積分について、三角関数級数とルジャンドル級数の展開の収束行動を分析する。
• 確率微分方程式の数値スキームにおける三角関数フーリエ級数の実用的妥当性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 繰り返しストラトノビッチ確率積分において、三角関数フーリエ級数展開の精度はルジャンドル級数と比べてどのように異なるか？
• RQ2 確率積分展開において、三角関数フーリエ級数をルジャンドル級数よりも使用する上での計算上の利点は何か？
• RQ3 提案されたフーリエに基づく手法は、確立されたMilstein展開と比べて性能面でどのように異なるか？
• RQ4 どのような数値的文脈において、三角関数フーリエ級数がより安定的かつ収束性の高い結果をもたらすか？
• RQ5 正規直交性と基底関数の選択が、確率積分のための多重フーリエ級数の有効性に果たす役割は何か？

主な発見

• 三角関数フーリエ級数は、ルジャンドル級数よりも繰り返しストラトノビッチ確率積分の展開においてより効果的で正確である。
• 多重三角関数フーリエ級数に基づく提案手法は、実用的な数値的応用において優れた収束特性を示している。
• Milstein展開との比較において、フーリエに基づくアプローチが、計算複雑性がおそらく低減される可能性がある一方で、同等またはそれ以上の精度を達成していることがわかった。
• 正規直交三角関数系の使用は、展開プロセスの安定性と効率性を高めている。
• 結果から、三角関数フーリエ級数は、高次元および多重確率積分の展開に適していることが示唆された。
• 本研究は、基底関数の選択（三角関数対ルジャンドル）が、確率積分近似の精度と効率に顕著な影響を与えることを確認した。