[論文レビュー] Generalized Polylogarithms in Maple

Hjalte Frellesvig|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2018

Advanced Mathematical Identities参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

この論文では、Maple 2018 における一般化多ログ、多重多ログ、多重ゼータ値の実装を提示する。解析的取り扱いと数値評価を統合したフレームワークを提供する。アプローチは、収束性のための無限級数、関数的恒等式による解析接続、およびホーラー畳み込みによる収束加速を用い、発散領域および臨界領域を含む広範な領域で堅牢な計算を可能にする。

ABSTRACT

This paper describes generalized polylogarithms, multiple polylogarithms, and multiple zeta values, along with their implementation in Maple 2018. This set of related functions is of interest in high energy physics as well as in number theory. Algorithms for the analytical manipulation and numerical evaluation of these functions are described, along with the way these features are implemented in Maple.

研究の動機と目的

• Maple 2018 において、一般化多ログ、多重多ログ、多重ゼータ値を統合的かつ汎用的に実装すること。
• 広く使用される数学ソフトウェア環境において、これらの特殊関数の記号的取り扱いと数値評価を統合したツールの不足を補うこと。
• フェルミン積分がこれらの関数に還元される高エネルギー物理学研究を支援し、信頼性の高い計算を可能にすること。
• 収束処理および解析接続のための高度なアルゴリズムを組み込むことにより、Maple の特殊関数処理能力を拡張すること。

提案手法

• 数値評価は、多重多ログの無限級数定義を用いて実装される。
• 発散領域では、関数的恒等式および積分レベルの変換を適用して値を収束領域に写像する。
• 収束加速には、多重ゼータ値および収束が悪いケースにホーラー畳み込みが用いられる。
• 記号的取り扱いは、専用パッケージと特殊関数の変換フレームワークへの統合によりサポートされる。
• 記号代数は、多ログ関数の記号マップを表現・操作可能に実装され、有理係数および数値定数の取り扱いについて設定可能である。
• 一般化多ログおよび多重多ログ関数を通じて、調和多ログおよびニエルセンの多ログの数値評価インターフェースが提供される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化多ログおよび関連関数を、Maple などの汎用計算代数システムにおいて、効率的かつ堅牢に実装する方法は何か？
• RQ2 多重多ログの発散および収束が遅いケースに対処するにあたり、効果的なアルゴリズム的戦略は何か？
• RQ3 記号的機能と数値的機能を統合することで、解析的取り扱いと高精度評価の両方を支援する方法は何か？
• RQ4 記号代数の役割は、計算環境における多ログ関数の構造を単純化・整理するためにどのように果たされるか？
• RQ5 ホーラー畳み込みのような収束加速技術を、多重ゼータ値および関連関数に効果的に適用する方法は何か？

主な発見

• Maple 2018 における実装は、一般化多ログ、多重多ログ、多重ゼータ値について、記号的取り扱いと数値評価を統合した最初のシステムを提供する。
• 関数的恒等式および積分変換の使用により、多重多ログの標準収束領域外でも信頼性の高い評価が可能になる。
• ホーラー畳み込みは、多重ゼータ値およびその他の収束が遅いケースの収束速度を顕著に向上させる。
• 記号代数フレームワークにより、多ログ関数の構造的表現が可能となり、有理係数および数値定数の取り扱いが設定可能になる。
• 調和多ログおよびニエルセンの多ログの数値評価インターフェースが、主な GeneralizedPolylog および MultiPolylog 手続きを通じて成功裏に公開されている。
• 内部ツールを介して、GPL のインデックスに関する微分がサポートされており、高度な解析的演算が可能になる。