[论文解读] Geodesic curves on Shimura surfaces

Ted Chinburg, Matthew Stover|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用 6

一句话总结

该论文通过将测地线曲线与 $ K_0 $-四元数代数联系起来，对商空间 $ \mathbf{H}^2 \times \mathbf{H}^2 $ 或 $ \mathbf{H}_{\mathbb{C}}^2 $ 关于不可约算术格的舒米达曲面（Shimura surfaces）上的测地线曲线，按共轭关系进行了分类。关键结果是：若一个舒米达曲面包含一条测地线曲线，则它必包含无穷多条两两不共轭的测地线曲线，且其完全参数化可通过四元数代数在数域上的分歧数据实现。

ABSTRACT

We parametrize the commensurability classes of curves on Shimura surfaces that are totally geodesic, i.e., the commensurability classes of so-called $\mathbb{C}$-Fuchsian subgroups. In particular, if a Shimura surface contains one commensurability class of totally geodesic curves, it contains infinitely many.

研究动机与目标

• 对舒米达曲面上的所有测地线曲线按共轭关系进行分类。
• 理解舒米达曲面基本群中 $ \mathbb{C} $-Fuchsian 子群的结构。
• 为这些曲面上完全测地的射影曲线的共轭类提供完整的参数化。
• 建立存在一条此类曲线即蕴含存在无穷多条两两不共轭曲线的结论。
• 统一并推广算术格中测地子流形的先前结果，特别是针对 $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{R}) \times \mathrm{SL}_2(\mathbb{R}) $ 和 $ \mathrm{SU}(2,1) $ 的情形。

提出的方法

• 利用半单李群中算术格的理论，将测地线曲线与基本群中的算术 Fuchsian 子群联系起来。
• 应用通过数域上四元数代数分类不可约算术格的方法，特别是那些在指定实位和有限位处分歧的代数。
• 建立 $ \Gamma \backslash \mathbf{H}^2 \times \mathbf{H}^2 $ 和 $ \Gamma \backslash \mathbf{H}_{\mathbb{C}}^2 $ 中完全测地子流形与满足特定分歧条件的 $ K_0 $-四元数代数之间的对应关系。
• 利用 $ K^3 $ 上的厄米特型及其在 $ K^2 $-子空间上的限制，实现 $ \mathbf{H}^2 $ 到 $ \mathbf{H}_{\mathbb{C}}^2 $ 的全纯嵌入，从而构造 $ \mathbb{C} $-Fuchsian 子群。
• 建立 $ \mathbb{C} $-Fuchsian 子群的共轭类与在除一个实位外所有实位及有限个非分裂素数处分歧的 $ K_0 $-四元数代数在 $ \mathrm{Aut}(K_0/\mathbb{Q}) $-同构类之间的一一对应。
• 利用四元数代数算术与厄米特几何的已知结果，证明分类结果，并与 Picard 模形式群的前期工作建立等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 舒米达曲面上测地线曲线的完整共轭分类是什么？
• RQ2 在何种条件下舒米达曲面会包含至少一条测地线曲线？
• RQ3 如何对舒米达曲面基本群中 $ \mathbb{C} $-Fuchsian 子群的共轭类进行参数化？
• RQ4 测地线曲线的几何性质与相关四元数代数的算术性质之间有何关系？
• RQ5 该分类如何推广或关联于关于 Picard 模形式群和 Hilbert 模形式曲面的先前结果？

主要发现

• 若一个舒米达曲面包含一条测地线曲线，则它必包含无穷多条两两不共轭的测地线曲线。
• $ \Gamma \backslash \mathbf{H}^2 \times \mathbf{H}^2 $ 上测地线曲线的共轭类与在除一个实位外所有实位及有限个非分裂素数处分歧的 $ K_0 $-四元数代数在 $ \mathrm{Aut}(K_0/\mathbb{Q}) $-同构类之间存在一一对应。
• 对于 $ \Gamma \backslash \mathbf{H}_{\mathbb{C}}^2 $，分类由在除一个实位外所有实位及有限个非分裂非阿基米德位处分歧的 $ K_0 $-四元数代数给出。
• 当关联的四元数代数在所有实位处均为分裂时，测地线曲线的存在受到阻碍，如定理 3.1 和 4.1 所示。
• $ \mathrm{SU}(2,1) $-型格的分类推广了 Parkkonen 和 Paulin 最近关于 Picard 模形式群的工作，其等价性通过四元数代数算术得以建立。
• 该参数化是有效且算术显式的，依赖于 $ K_0 $-四元数代数的希尔伯特符号与分歧数据。