[論文レビュー] Higher depth quantum modular forms, multiple Eichler integrals, and $\frak{sl}_3$ false theta functions

Kathrin Bringmann, Jonas Kaszián+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2017

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ひとこと要約

本稿では、頂点代数 $W^0(p)_{A_2}$ の表現における $\frak{sl}_3$ の偽トゥーレス関数から生じる高さの深い量子モジュラー形式を導入し、それが整数重みの2つの深さ2の量子モジュラー形式に分解されることを示している。この構成は、二重アイヘラー積分および二重誤差関数係数をもつ非正則トゥーレス級数と関連づけられ、反復積分とヴィgnéras型微分方程式を用いてモジュラー性が確立される。

ABSTRACT

We introduce and study higher depth quantum modular forms. We construct two families of examples coming from rank two false theta functions, whose "companions" in the lower half-plane can be also realized both as double Eichler integrals and as non-holomorphic theta series having values of "double error" functions as coefficients. In particular, we prove that the false theta of $\frak{sl}_3$, appearing in the character of the vertex algebra $W^0(p)_{A_2}$, can be written as the sum of two depth two quantum modular forms of positive integral weight.

研究の動機と目的

• 古典的ランク1の場合を越えた高さの深い量子モジュラー形式を定義し、研究すること。
• $\frak{sl}_3$ におけるランク2の偽トゥーレス関数を反復アイヘラー積分および非正則トゥーレス級数と関連づけること。
• $\frak{sl}_3$ の偽トゥーレス関数が整数重みの2つの深さ2の量子モジュラー形式の和として分解されることを確立すること。
• 反復積分および微分方程式を用いて、これらの形式のモジュラー性の性質を調査すること。
• $W(p)_{A_2}$ の特徴関数に対する $S$-行列構造の基盤を築くこと。これは、頂点代数論における既知の結果に類似した形で。

提案手法

• 重み $k$ および $2-k$ の形式を用いて、正則化された積分として二重アイヘラー積分を構成する。
• ボルの恒等式およびその一般化を用い、不定トゥーレス関数の正則的および非正則的部品を関連付ける。
• 2次形式に関してモジュラー性を検証するため、ヴィgnéras型微分方程式を用いる。
• ヤコビ微分作用素のテクニックを用いて、重み2の非正則的部品を調和マース形式と関連付ける。
• 偽トゥーレス関数の漸近展開を導出し、下半平面におけるアイヘラー積分と関連づける。
• 構成された量子モジュラー形式のモジュラー性の誤差が実解析的であることを示すことにより、ザイゲルの定義に従う量子モジュラー形式の定義を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高さの深い量子モジュラー形式は、高ランクリーマン代数の偽トゥーレス関数から体系的に定義され、構成可能であろうか？
• RQ2 二重アイヘラー積分および二重誤差関数係数をもつ非正則トゥーレス級数は、偽トゥーレス関数のモジュラー性とどのように関係するか？
• RQ3 $\frak{sl}_3$ の偽トゥーレス関数は、整数重みの2つの深さ2の量子モジュラー形式の和として表現可能であろうか？
• RQ4 反復アイヘラー積分は、不定トゥーレス関数の非正則的部品を実現する上で果たす役割は何か？
• RQ5 $(2,2p)$-トーラスリンクのカラーリング・ジョーンズ多項式のテイルは、有理関数を除いて、偽トゥーレス関数 $F(q)$ の成分と同一視可能であろうか？

主な発見

• $W^0(p)_{A_2}$ の表現における $\frak{sl}_3$ の偽トゥーレス関数は、重み $k \in \mathbb{Z}_{\geq 2}$ の2つの深さ2の量子モジュラー形式に分解される。
• これらの偽トゥーレス関数は、二重誤差関数を係数にもつ2つの非正則的トゥーレス級数に対応する2つの二重アイヘラー積分の和に等しいことが示された。
• 不定トゥーレス級数の非正則的部品は、モジュラー形式の反復積分として実現され、$\lambda = 0$ および $A = A_1$ のヴィgnéras型微分方程式を満たす。
• 正則化積分の極限過程を用いて、反復アイヘラー積分のモジュラー性が証明され、重み2のモジュラー的対象に収束することが示された。
• 構成された量子モジュラー形式のモジュラー性の誤差は実解析的であり、ザイゲルの定義における量子モジュラー形式の定義を満たす。
• 偽トゥーレス関数 $F(q)$ と $(2,2p)$-トーラスリンクのカラーリング・ジョーンズ多項式のテイルとの間の関係が確立され、有理関数 $1-q$ を除いて一致することが示された。